79-ma’ruza. Mavzu: Ehtimolliklar nazariyasining asosiy tushunchalari Reja

3-misol. Qutida 5 ta standart bo’lgan 20 ta bir xil detal ixtiyoriy tartibda joylashtirilgan. Ishchi tavakkaliga uchta detalni oladi. Olingan detallardan hech bo’lmaganda bittasi standart detal bo’lishi (A hodisa) ehtimolligini toping.
Yechilishi. Birinchi usul. Ma’lumki, quyidagi uchta birgalikda bo’lmagan hodisalardan istalgan bittasi ro’y bersa, olingan detallarning hech bo’lmaganda bittasi standart bo’ladi. B-bitta detal standart, ikkitasi-nostandart; C-ikkita detal standart, bittasi-nostandart; D-uchala detal ham standart.
Shunday qilib, A hodisani bu uchta hodisaning yig’indisi ko’rinishida tasvirlash mumkin. A=B+C+D. Qo’shish teoremasiga ko’ra
P(A)=P(B)+P(C)+P(D).
Har bir hodisaning ehtimolligini topamiz.
Tanlanma haqidagi masalaga ko’ra N ta detaldan iborat partiyada M ta nostandart detal bo’lsa, tavakkaliga olingan n ta detaldan m tasini nostandart bo’lish ehtimolligi

formula yordamida topilar edi. Shunga N=20, n=3, M=15, m=2 qiymatlarni qo’ysak

bo'ladi.
Shunga o’xshash formulaga m=1, m=0 qiymatlarini qo’ysak:
,
.
Topilganlarni qo’shib, A hodisaning ehtimolligini hosil qilamiz:
.
Ikkinchi usul. A hodisa (olingan uchta detalni hech bo’lmaganda bittasi standart) va hodisa (olingan detallarning hech biri standart emas) o’zaro qarama-qarshidir; shuning uchun P(A)+P( )=1 yoki P(A)=1-P( ).
hodisaning ro’y berish ehtimolligi quyidagiga teng:

Demak, izlanayotgan ehtimollik quyidagiga teng bo’ladi:
.
Endi birgalikda bo’lgan hodisalar uchun qo’shish teoremasini keltiramiz.
80.2.-teorema. Ikkita birgalikda bo’lgan A va B hodisadan hech bo’lmaganda birining ro’y berish ehtimolligi bu hodisalar ehtimolligi yig’indisidan ularni birgalikda ro’y berish hodisasi ehtimolligining ayirmasiga teng bo’ladi:
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). (80.1)
Isboti. Shartga ko’ra A va B birgalikda bo’lgan hodisalar. Ravshanki, A , B va AB hodisalar o’zaro birgalikda emas va
A+B= A + B+AB
bo’ladi. 80.1-teoremaga ko’ra
P(A+B)=P( A )+P( B)+P(AB) (80.2)
bo’ladi.
A hodisa ro’y berishi uchun A hamda AB hodisalardan bittasi, B hodisa ro’y berishi uchun B hamda AB hodisalardan bittasi ro’y berishi kerak, ya’ni
A= A +AB, B= B+AB.
80.1-teoremaga ko’ra
P(A)=P(A )+P(AB),
P(B)=P( B)+P(AB),
bo’ladi. Bu munosabatlardan
P(A )=P(A)-P(AB),
P( B)=P(B)-P(AB)
bo’lishi kelib chiqadi. Natijada (80.2) tenglikdagi P(A ) va P( B)ning o’rniga ularning topilgan qiymatlarini qo’ysak,
P(A+B)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)+P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
hosil bo’ladi.
Demak, P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
Uchta birgalikda bo’lgan A, B va C hodisalar yig’indisining ehtimolligi ushbu formula bo’yicha hisoblanadi:
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).