79-ma’ruza. Mavzu: Ehtimolliklar nazariyasining asosiy tushunchalari Reja

Yechilishi. deb belgilaymiz.
Faqat birinchi A₁ hodisaning ro’y berishi A₁ hodisaning ro’y berishiga teng kuchli. B₁= A₁ , B₂= A₂ , B₃= A₃ belgilashlarni kiritamiz.
Shunday qilib, A₁, A₂, A₃ hodisalardan faqat bittasining ro’y berish ehtimolligi P(B₁+ B₂+ B₃) ni izlaymiz.
B₁, B₂, B₃ hodisalar birgalikda bo’lmaganligi uchun 80.1-teoremaga binoan
P(B₁+ B₂+ B₃)= P(B₁)+P( B₂)+P(B₃) (80.5)
bo’ladi. A₁, A₂, A₃ hodisalar bog’liqmas bo’lganligi uchun A₁ , A₂ , A₃ hodisalar ham bog’liqmas bo’ladi. Shuning uchun (80.4) formulaga asosan
P(B₁)=P(A₁ )= P(A₁)P( )P( )=p₁q₂q₃,
P(B₂)=P( A₂ )=P( )P(A₂)P( )=q₁p₂q₃= p₂q₁q₃,
P(B₃)= P( A₃)=P( )P( )P(A₃)= q₁q₂ p₃=p₃q₂q,
ga ega bo’lamiz.
Bu ehtimolliklarni (80.5) ga qo’yib, izlanayotgan ehtimollikni, ya’ni A₁, A₂, A₃ hodisalardan faqat bittasining ro’y berish ehtimolligini topamiz:
P(B₁+B₂+B₃)= p₁q₂q₃ +p₂q₁q₃ +p₃q₂q₁.
3-ta’rif. A hodisaning B hodisa ro’y berdi degan shartda hisoblangan ehtimolligi A hodisaning B hodisa ro’y berishi shartidagi shartli ehtimolligi deb ataladi va P(A׀B) bilan belgilanadi.
9-misol. Qutida 3 ta oq va 5 ta qora shar bor. Qutidan ikki marta tavakkaliga bittadan shar olinadi. Agar birinchi tajribada qora shar chiqqan bo’lsa (A hodisa), ikkinchi tajribada oq shar chiqishi (B hodisa) ehtimolligini toping.
Yechilishi. Birinchi tajribadan so’ng qutida 7 ta shar qoldi., ulardan uchtasi oq shar. Shuning uchun ehtimollikning klassik ta’rifiga binoan
P(B׀A)= bo’ladi.
A va B hodisalar bog’liq bo’lib P(A), P(B׀A) ehtimolliklar ma’lum bo’lsin.
80.4-teorema. Ikkita A va B bog’liq hodisalarning birgalikda ro’y berishi ehtimolligi ulardan birining ehtimolligini shu hodisa ro’y berdi degan farazda hisoblangan ikkinchi hodisaning shartli ehtimolligiga ko’paytmasiga teng:
P(AB)=P(A)· P(B׀A) (80.6)
Isboti. A va B bog’liq hodisalar bo’lsin. Tajriba natijasida n ta elementar hodisaga ega bo’lib ulardan n₁ tasi A hodisaga qulaylik tug’dirsin. U holda ehtimollikning klassik ta’rifiga ko’ra
P(A)= (80.7)
bo’ladi.
A hodisa ro’y berdi degan shartda B hodisa ro’y berishiga qulaylik tug’diruvchi elementar hodisalar soni m ta bo’lsin. U holda AB hodisaning ro’y berishiga qulaylik tug’diruvchi elementar hodisalar soni ham m ga teng bo’lgani uchun
P(AB)=
bo’ladi.
A hodisa ro’y berdi degan shartda B hodisaning ro’y berish ehtimolligi
P(B׀A)= (80.8)
ga teng. (80.7), (80.8) tengliklarni hisobga olib
P(AB)= = · =P(A)· P(B׀A).
tenglikni hosil qilamiz.
Isbotlangan teoremadan uchta A, B, C bog’liq hodisalar uchun
P(ABC)=P(A)P(B׀A)P(C׀AB)
tenglikka va n ta A₁, A₂,…, A_n bog’liq hodisalar uchun
P(A₁ A₂… A_n)=P(A₁)P(A₂׀ A₁)P(A₃׀ A₁ A₂)…P(A_n׀ A₁ A₂… A_n-1)
formulaga ega bo’lamiz.
10-misol. Qutida 3 ta oq, 7 ta qora shar bor. Sharlar bir xil. Tavakkaliga bitta shar, keyin yana bitta shar olindi. Olingan sharlardan birinchisi oq, ikkinchisi esa qora shar bo’lish ehtimolligini toping.
Yechilishi. Birinchi olingan sharning oq bo’lish ehtimolligi:
P(A)= .
Ikkinchi olingan sharning qora bo’lishi shartli ehtimolligi
P(B׀A)=
bo’ladi.
Izlanayotgan ehtimolik bog’liq hodisalar ehtimolliklarini ko’paytirish teoremasiga asosan quyidagiga teng:
P(AB)= P(A)P(B׀A)= · = .