79-ma’ruza. Mavzu: Ehtimolliklar nazariyasining asosiy tushunchalari Reja

80.3. Kamida bitta hodisaning ro’y berish ehtimolligi
Faraz qilaylik, tajriba natijasida n ta birgalikda bog’liq bo’lmagan hodisa yoki ularni ba’zi-birlari ro’y berishi mumkin bo’lib, ulardan har birining ro’y berish ehtimolligi ma’lum bo’lsin. Shu hodisalardan kamida bittasining ro’y berish ehtimolligi quyidagi teoremadan foydalanib topiladi.
80.5-teorema. Birgalikda bog’liq bo’lmagan A₁, A₂,…, A_n hodisalardan kamida bittasining ro’y berishi (A hodisa) ehtimolligi birdan qarama-qarshi hodisalar ehtimolliklari ko’paytmasini ayirilganiga teng:
P(A)=1-q₁· q₂·q₃· …·q_n (80.9)
bunda q_i=P( )(i= ).
Isboti. A va hodisalar qarama-qarshi hodisalar bo’lganligi uchun ularning ehtimolliklari yig’indisi birga teng:
P(A)+ P( )=1
yoki
P(A)=1-P( ).
Bundan (80.4) formulani hisobga olsak isbotlanishi lozim bo’lgan (80.9) tenglikka ega bo’lamiz.
Xususiy holda, A₁, A₂,…, A_n hodisalar p ga teng bo’lgan bir xil ehtimollikka ega bo’lsa, u holda shu hodisalardan kamida bittasining ro’y berish ehtimolligi
P(A)=1-qⁿ (80.10)
bo’ladi, bunda q=1-p.
11-misol. Uchta to’pdan otishda nishonga tekkizish ehtimollikalari mos ravishda p₁=0,8, p₂=0,7, p₃=0,9, nishon yakson qilinishi uchun unga bitta o’qning tegishi kifoya qilsa, uchala to’pdan bir yo’la otishda nishonning yakson qilinishi (A hodisa) ehtimolligini toping.
Yechilishi. A₁, A₂ va A₃ hodisalar nishonni mos ravishda birinchi, ikkinchi va uchinchi to’plardan yakson etilishini anglatsin. Bu hodisalar birgalikda va bog’liq emas. A₁, A₂, A₃ hodisalarga qarama-qarshi hodisalarning ehtimolliklari mos ravishda q₁=1-P₁=1-0,8=0,2, q₂=1-p₂=1-0,7=0,3, q₃=1-p₃=1-0,9=0,1 bo’ladi.
Izlanayotgan ehtimollikni (80.9) formulaga asoslanib topamiz:
P(A)=1-0,2·0,3·0,1=0,994.