79-ma’ruza. Mavzu: Ehtimolliklar nazariyasining asosiy tushunchalari Reja

14-misol. Omborga 360 ta mahsulot keltrildi. Bulardan: 300 tasi bir korxonada tayyorlangan bo’lib, ulardan 250 tasi yaroqli mahsulot. 40 tasi ikkinchi korxonada tayyorlangan mahsulot bo’lib, ulardan 30 tasi yaroqli mahsulot. 20 tasi uchinchi korxonada tayyorlagan bo’lib, ulardan 10 tasi yaroqli mahsulot. Ombordan tavakkaliga olingan mahsulotning yaroqli bo’lish ehtimolligini toping.
Yechilishi. Tavakkaliga olingan mahsulot uchun quyidagi gipotezalar o’rinli bo’ladi.
H₁- mahsulot birinchi korxonada tayyorlangan;
H₂- mahsulot ikkinchi korxonada tayyorlangan;
H₃- mahsulot uchinchi korxonada tayyorlangan.
Bu gipotezalar quyidagi ehtimolliklarga ega.
P(H₁)= P(H₂)= P(H₃)=
Agar olingan mahsulotning yaroqli bo’lishini A hodisa deb belgilasak u quyidagi shartli ehtimollilarga ega bo’ladi:
= = =
Shunday qilib
P(A)= P(H₁) + P(H₂) +P(H₃) = .
Bu masalani klassik ta’rifdan foydalanib osongina yechish ham mumkin edi. Omborda jami 360 ta detal bo’lib ulardan 250+30+10=290 tasi yaroqli. Yaroqlilar sonini jami detallar soniga bo’lsak

bo'ladi.
2. Beyes formulasi. Aytaylik birgalikda bo’lmagan H₁, H₂,…, H_n gipotezalarning to’la guruhi berilgan bo’lib, tajribani o’tkazishga qadar ularning har birini ehtimolligi P(H₁), P(H₂), …, P(H_n) ma’lum bo’lsin. Tajriba o’tkazilib uning natijasida A hodisa ro’y beradi, bu hodisaning P(A׀H₁), P(A׀H₂), …, P(A׀H_n) shartli ehtimolliklari ma’lum. A hodisa ro’y berishi munosabati bilan gipotezalarning ehtimolliklarini qayta baholash, boshqacha aytganda P(H₁׀A), P(H₂׀A), …, P(H_n׀A) shartli ehtimolliklarni topishni talab qilinadi.
Ko’paytirish teoremasidan:
P(AH_i)=P(A)P(H_i ׀A) va P(AH_i)=P(H_i)P(A ׀H_i).
Bularni taqqoslab, P(A)P(H_i ׀A)=P(H_i)P(A׀H_i) ni hosil qilamiz, bundan

P(A)o’rniga uning to’la ehtimollik formulasi (80.11) dagi qiymatini qo’ysak
(80.12)
formula hosil bo’ladi. Bu formula Beyes formulasi deyiladi.
Xususan, tajriba o’tkazilishidan oldin barcha gipotezalar teng ehtimollik, ya’ni P(H₁)= P(H₂)= …= P(H_n) bo’lsa, u holda (80.12) formula quyidagi ko’rinishni oladi:
(80.13)