8-§. Sanlí funkciyalar túsinigi

3-tastıyıqlaw. bazasınıń bazıbir qosımtasında teńsizligi orınlı hám shegi bar bolsa, onda shegi bar boladı.
Dálilleniwi. teńsizliginen funkciyasın alıp, turinde jazamız. bolǵanı ushın funkciyası bazası boyınsha sheksiz kishi funkciya boladı. teńsizligi orınlı bolǵanı ushın ayırması da bazası boyınsha sheksiz kishi funkciya boladı.
Sonlıqtan
,
boladı. Dálildiń sońı.
Baza boyınsha funkciya sheginiń bar bolıwı ushın. Koshi kriteriyi. 1-teorema. bazası boyınsha funkciyasınıń shegi bar bolıwı ushın, sanına bazasınıń sonday qosımtası tabılıp, argumenttiń mánislerinde teńsizliginiń orınlı bolıwı zárur hám jetkilikli boladı.
Dálilleniwi. Zárurligi. Meyli shegi bar bolsın. Onda baza boyınsha shektiń anıqlamasınan, sanına bazasınıń sonday qosımtası tabılıp, argumenttiń mánislerinde teńsizlikleri orınlı. Onda argumenttiń mánislerinde,

teńsizligi orınlı.
Jetkilikligi. Meyli sanına bazasınıń sonday qosımtası tabılıp, argumenttiń mánislerinde teńsizligi orınlı bolsın. shegi bar bolıwın dálillew kerek.
Dáslep funkciyasınıń bazasına baylanıslı final shegaralanǵan funkciya bolatuǵınlıǵın kórsetemiz. Usı maqsette sanına bazasınıń sonday qosımtasın alsaq, argumenttiń mánislerinde teńsizligi orınlı boladı. Onda mánisin tayınlap, ushın
,
yaǵnıy ushın teńsizligi orınlı. Demek, funkciyası bazasına baylanıslı final shegaralanǵan funkciya.
Endi sanına bazasınıń sonday qosımtası tabılıp, argumenttiń mánislerinde teńsizligi orınlı bolıwı sanınıń túrindegi sanlar kópliginiń joqarǵı shegarası ekenligin ańlatadı. funkciyası bazasına baylanıslı final shegaralanǵan funkciya bolǵanlıǵı ushın onıń qosımtasında anıq jokarǵı hám anıq tómengi shegaraları bar boladı. Olardı sáykes túrinde belgileymiz. Onda , yaǵnıy teńsizligine iye bolamız. Endi túrinde tańlasaq, onda barlıq ushın boladı. Haqıyqatında da, máselen, bolsa, onda niń ornına shártinde alınıwı múmkin. Sonlıqtan teńsizlikleri hám ushın teńsizligi orınlı. Hárbir ushın segmenti sáykes keledi hám olar qısılıwshı segmentler sisteması boladı, sebebi ushın yaǵnıy . Onda qısılıwshı segmentler sisteması haqqındaǵı teoremadan sanı ushın shártin qanaatlandıratuǵın noqatı bar boladı. Endi teńligin dálilleymiz. Bunıń ushın sanına bazasınıń sonday qosımtası tabılıp, mánislerinde teńsizliginiń durıslıǵın kórsetiw jeterli boladı. qosımtası retinde qosımtasın alamız. Sonda ushın teńsizligi hám ushın teńsizligi orınlı. Usıǵan qosımsha, bolǵanı ushın . Bunnan, Dálildiń sońı.
Anıqlama. bazasınıń qálegen qosımtası bazasınıń bazıbir qosımtasına úles bolsa hám kersinshe bazasınıń qalegen qosımtası bazasınıń bazıbir qosımtasına úles bolsa, onda hám bazaları ekvivalent bazalar dep ataladı.
Ekvivalent bazalar ushın joqarıda shek túsinigine baylanıslı keltirilgen tastıyıqlawlar bir uaqıtta orınlı boladı.

2.