8-§. Sanlí funkciyalar túsinigi

3-teorema. Meyli hám ushın , sonıń menen birge bolsın. Onda boladı.
Dálilleniwi. Teoremanıń shártinen bolǵanı ushın sanına sonday sanı bar boladı da mánisinde hám bolǵanı ushın berilgen sanına sonday sanı tabıladı da mánislerinde teńsizligi orınlı. Sonıń menen birge sonday sanı bar bolıp, ushın . Onda sanı retinde sanın tańlasaq, mánislerinde teńsizligi orınlı boladı. Dálildiń sońı.
4-teorema. Meyli shegi bar bolsın. Onda shegi bar bolıwı ushın sáwlelendiriwinde bazasınıń hárbir qosımtası bazasınıń bazıbir qosımtasınıń obrazın tolıǵı menen óz ishine alıwı jetkilikli boladı.
Dálilleniwi. funkciyasınıń bazası boyınsha shektiń anıqlamasınan; sanı ushın bazasınıń sonday qosımtası bar boladı da mánisi ushın teńsizligi orınlı. Teoremanıń shártine sáykes bazasınıń sonday qosımtası bar boladı hám . Sonlıqtan, mánisinde teńsizligi orınlı. Demek, sanı ushın bazasınıń sonday qosımtası bar boladı da ushın teńsizligi orınlı, yaǵnıy . Dálildiń sońı.
1-mısal. hám teńliklerin dálilleń.
Dálilleniwi. Bizge bolatuǵınlıǵı málim. Onda sanlı izbe-izlikler shegi anıqlamasınan paydalanıp, sanı ushın sonday nomeri bar boladı da ushın teńsizligi orınlı hám sonday nomeri tabılıp, ushın teńsizligi orınlı boladı. Onda nomerlerinde, teńsizlikleri durıs.
1) meyli . Eger bolsa, onda . Sonlıqtan teńsizligi orınlı. Bul sanı ushın sonday tabılıp, mánislerinde teńsizligi orınlı degendi ańlatadı, yaǵnıy .
2) Meyli bolsın. Onda 4-teoremada dep esaplasaq, boladı. 1) hám 2) jaǵdaylardı biriktirip, teńligine iye bolamız.
Endi 4-teoremada bolsa, onda bolatuǵınlıǵın kóremiz. Dálildiń sońı.
Dálillengen hám teńliklerine matematikada 1-ájayıp shek dep ataydı.