Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari

Usulning yoritilishi. 
 
Nyuton  interpolyasion  formulalari  teng  uzoqlikda  joylashgan  tugunlar  uchun  qaralayotgan 
oraliqning boshi va oxiridagi nuqtalarda funksiyaning qiymatini hisoblash uchun qulay.  
 
Ixtiyoriy  joylashgan  tugunlarda  interpolyasiyalashda  Lagranj  interpolyasion  formulasidan 
foydalaniladi. 
 


n
i
х
i
,...,
1
,
0

  ixtiyoriy  tugunlar  va  bu  tugunlarda 
 
x
f
y 
  funksiyaning 
 
i
i
x
f
y 
  
qiymatlarii  berilgan  bo’lsin. 
i
х
  tugunlarda 
i
y
  qiymatlarni  qabul  qiladigan 
n
-darajali  ko’pxadni 
Lagranj interpolyasion ko’phadi yordamida qurishni qaraylik. 
 
 

x
L
n

 

 


 

 

n
i
i
i
i
n
i
i
i
n
i
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
y

















1
1
0
1
0
0
 
Formulaning qoldiq hadi  
 
 


 




 

n
n
n
х
х
х
х
х
х
n
х
R







1
0
1
1


 
kabi bo’ladi. Bu yerda 
  


mn
i
х
i
1
,
0

 tugunlar va 
х
 nuqta o’z ichiga oladigan eng kichik oraliqda 
yotadi.. 
 
 
 
















n
i
i
i
i
i
i
i
n
i
i
n
i
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
L



















1
1
1
0
1
1
1
0
 
ifoda Lagranj koefisentlarii deb nomlanadi. 

 
209
 
Bu holda (4,1) formula quyidagi ko’rinishda bo’ladi. 
 
 




n
i
i
n
i
n
y
х
L
х
L
1
 
 
Lagranj koeffisentlarini hisoblash uchun quyida keltirilgan sxemadan foydalanish mumkin. 
 
i 
)
(
j
i
x
x
j
i


 
i
D  
i
y  
i
i
D
y
 
0 
0
x
x 
 
1
0
x
x 
 
2
0
x
x 
 
..... 
n
x
x 
0
 
0
D  
0
y  
0
0
D
y
 
1 
0
1
x
x 
 
1
x
x 
 
2
1
x
x 
 
..... 
n
x
x 
1
 
1
D  
1
y  
1
1
D
y
 
2 
0
2
x
x 
 
1
2
x
x 
 
2
x
x 
 
..... 
n
x
x 
2
 
2
D  
2
y  
2
2
D
y
 
3 
..... 
..... 
..... 
..... 
..... 
..... 
..... 
..... 
... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 







n
i
i
n
x
x
x
П
0
1
 



n
i
i
i
D
y
S
0
 
 
 
 
 
Birinchi satr elementlari yig’indisini  
0
D , ikkinchi satr elementlari yig’indisini 
1
D  va 
hakozo  kabi  belgilaymiz.  Tagi  chizilgan  diogonal  elementlarning  yig’indisini 
 
x
П
n 1

  orqali 
belgilaymiz. Bundan esa  
 
 
 


n
i
D
х
х
L
i
n
n
i
,
,
1
,
0
1





 bo’lishi kelib chiqadi. 
Demak  
 
 





n
i
i
i
n
n
D
y
х
х
L
1
1
o’rinli bo’ladi. 
Misol. 
 
х
y
ln

funksiyaning 
103
,
102
,
101
,
100

х
  nuqtalardagi  qiymatini  berilgan  bo’lsin.  Bu 
funksiyaning 
5
,
100

х
 bo’lgandagi qiymatini toping va xatolikni baholang. 
 
Yechish:  Qulaylik uchun hamma hisoblashlarni jadvalga joylashtiramiz.! 
i 
)
(
j
i
x
x
j
i


 
i
D  
i
y  
i
i
D
y
 
0 
0,5 
-1 
-2 
-3 
-3,0 
4,60517 
-1,53500 
1 
1 
-0,5 
-1 
-2 
-1,0 
4,61512 
-4,61512 
2 
2 
1 
-1,5 
-1 
3,0 
4,62797 
 1,54365 
3 
3 
2 
1 
-2,5 
-1,5 
4,63473 
-3,08582 
 


375
,
9
0
1







n
i
i
n
x
x
x
П
 
769834
0





n
i
i
i
D
y
S
 
Bu holda  
 


 



21156
.
8
69834
.
7
375
.
9
5
.
100
3
0
4








i
i
i
D
х
y

 
Lagranj formulasi qoldiq hadi 
3

n
bo’lganda  
 
 
 





.
!
4
3
2
1
0
3
х
х
х
х
х
х
х
х
f
х
R
iv






 

 
210
kabi bo’ladi.  
Biz 
qarayotgan 
misolda 
5
,
100
,
103
,
102
,
101
,
100
3
2
1
0





x
x
x
x
х
 
va 
103
100



. 
 
х
x
f
ln

bo’lgani uchun 
 
4
6
x
f
iv



 bo’ladi. Demak 




8
4
3
10
23
,
0
5
,
3
5
,
2
5
,
1
5
,
0
!
4
100
6
5
,
100









R
. 
 
Teng  uzoklikda  joylashgan  tugunlarda 
y
  funksiyaning  qiymatlari  berilgan.    Nyutonning 
birinchi va ikkinchi interpolyasion formulalari yordamida ko’phad quring va 
х
 nuqtadagi qiymatini 
hisoblang. 
 
x 
y 
№ 
x 
 
x 
y 
№ 
x 
1,375 
1,380 
1,385 
1,390 
1,395 
1,400 
5,04192 
5,17744 
5,32016 
5,47069 
5,62968 
5,79788 
1 
1,3832 
0,115 
0,120 
0,125 
0,130 
0,135 
0,140 
8,65729 
8,29729 
7,95829 
7,64893 
7,36235 
7,09613 
2 
0,1264 
3 
1,3926 
4 
0,1315 
5 
1,3862 
6 
0,1232 
7 
1,3934 
8 
0,1334 
9 
1,3866 
10 
0,1285 
11  1,3795 
12 
0,1356 
 
x 
y 
№ 
x 
 
x 
y 
№ 
x 
1,415 
1,420 
1,425 
1,430 
1,435 
1,440 
1,445 
0,888551 
0,889599 
0,890637 
0,891667 
0,892687 
0,893698 
0,894688 
13 
1,4179 
0,150 
0,155 
0,160 
0,165 
0,170 
0,175 
0,180 
6,61659 
6,39989 
6,19658 
6,00551 
5,82558 
5,65583 
5,42667 
14 
0,1521 
15 
1,4258 
16 
0,1611 
17 
1,4396 
18 
0,1662 
19 
1,4236 
20 
0,1542 
21 
1,4315 
22 
0,1625 
23 
1,4215 
24 
0,1711 
25 
1,4277 
26 
0,1753 
 
 
Teng  uzoklikda  joylashmagan  tugunlarda 
y
  funksiyaning  qiymatlari  berilgan.  
Lagranj interpolyasion formulalari yordamida ko’phad quring va 
х
 nuqtadagi qiymatini hisoblang. 
 
x 
y 
№ 
x 
 
x 
y 
№ 
x 
0,43 
1,63597 
1 
0,702 
0,02 
1,02316 
2 
0,102 
0,48 
1,73234 
3 
0,512 
0,08 
1,09590 
4 
0,114 
0,55 
1,87686 
5 
0,645 
0,12 
1,14725 
6 
0,125 
0,62 
2,03345 
7 
0,736 
0,17 
1,21483 
8 
0,203 
0,70 
2,22846 
9 
0,608 
0,23 
1,30120 
10 
0,154 
0,75 
2,35973 
11  0,478 
0,30 
1,40976 
12 
0,087 
 
 
X 
y 
№ 
x 
 
x 
y 
№ 
x 
0,35 
2,73951 
13 
0,526 
0,68 
0,80866 
14 
0,896 
0,41 
2,30080 
15 
0,453 
0,73 
0,89492 
16 
0,812 
0,47 
1,96864 
17 
0,482 
0,80 
1,02964 
18 
0,774 
0,51 
1,78776 
19 
0,552 
0,88 
0,20966 
20 
0,955 
0,56 
1,59502 
21 
0,436 
0,93 
1,34087 
22 
0,715 
0,64 
1,34310 
23 
0,635 
0,99 
1,52368 
24 
0,984 

 
211
0,69 
1,16321 
25 
0,667 
1,07 
1,75826 
26 
0,845 
 
Mustaqil ishlash bo’yicha savollar 
1. Interpolyasiya masalasi qanday qo’yiladi ? 
2. Nyutonning 1 va 2-interpolyasion formulalarini va qo’llash hollarini 
tushintirib bering. 
3. Lagranj  interpolyasion  formulasi  va  qo’llash  hollarini  tushintirib 
bering. 
4. Nyuton  va  Lagranj  interpolyasion  formulalarining  qoldiq  hadi 
qanday baholanadi ? 
 
7. Funksiyalarni sonli integrallash. To`g`ri to`rtburchaklar, trapetsiyalar, Simpson 
formulalari 
 
 
Ishdan maqsad:  Aniq integrallarning qiymatini taqribiy hisoblashning trapesiya va 
Simpson formulalari hamda ularning qoldiq hadlarini baholashni o’rganish; hisoblash ishini 
tashkil qilish va bajarish;  masalani yechish dasturini tuzish va sonli natijalar olish. 
 
Quyidagi 
 
 


b
a
dx
x
f
f
I
                                           (1) 
aniq integralning qiymatini taqribiy hisoblashni qaraylik. Bu yerda 
 
x
f
 - 


b
a,
 oraliqda uzluksiz 
bo’lgan funksiya. 


b
a,
 
integrallash 
oralig’ini 
n
 
ta 
uzunligi 
n
a
b
h


 
ga 
teng 
bo’lgan 

 



n
n
x
x
x
x
x
x
,
,.....,
,
,
,
1
2
1
1
0

  kesmalarga ajratamiz.  
Agar tugunlarda 
 
x
f
 ning qiymatini 
  

n
i
x
f
y
i
i
,...,
2
,
1
,
0


 kabi belgilasak 
 
 















b
a
n
n
y
y
y
y
y
h
dx
x
f
f
I
2
......
2
1
2
1
0
           (2) 
umumiy  trapesiyalar  formulasi  deyiladi.    Bu  formula  geometrik  nuktai-nazardan  integral  ostidagi  
 
x
f
y 
 funksiyaning grafigini tugun nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziq bilan almashtirishdan 
iboratdir. 
 
Faraz  qilaylik 
m
n
2

  juft  son  bo’lsin. 


b
a,
  integrallash  oralig’ini 
n
  ta  uzunligi 
m
a
b
n
a
b
h
2




 ga teng bo’lgan 

 



n
n
x
x
x
x
x
x
,
,.....,
,
,
,
1
2
1
1
0

  kesmalarga ajratamiz. 
 
 








2
2
4
2
1
2
3
1
2
0
......
2
......
4
3














m
b
a
m
m
y
y
y
y
y
y
y
y
h
dx
x
f
f
I
                     (3) 
Simpson formulasi deyiladi.   
 (3) formula geometrik nuktai-nazardan integral ostidagi  
 
x
f
y 
 funksiyaning grafigini 
har bir oraliqda parabolalar bilan almashtirishdan iboratdir. 
 

 
212
Misol. 



1
0
1 x
dx
I
  integralning  qiymatini  trapesiyalar  va  Simpson  formulalari  yordamida  taqribiy 
hisoblang. 
 
Yechish. 
 
1
,
0
 kesmani 
10

n
 ta 

 



10
9
2
1
1
0
,
,.....,
,
,
,
x
x
x
x
x
x
kesmalarga ajratamiz. Har bir  
i
x
  nuqtada 
  

10
,...,
2
,
1
,
0


i
x
f
y
i
i
  qiymatlarni  hisoblaymiz  va  quyidagi  jadvalga 
joylashtiramiz. 
i 
x
i 
y
i
 
0 
0 
1,000 
1 
0,1 
0,909 
2 
0,2 
0,833 
3 
0,3 
0,769 
4 
0,4 
0,715 
5 
0,5 
0,667 
6 
0,6 
0,625 
7 
0,7 
0,588 
8 
0,8 
0,556 
9 
0,9 
0,526 
10 
1,0 
0,500 
 
Trapesiyalar formulasiga ko’ra  


694
,
0
938
,
6
1
,
0
25
,
0
526
,
0
556
,
0
588
,
0
625
,
0
667
,
0
715
,
0
769
,
0
833
,
0
909
,
0
5
,
0
1
,
0
2
......
2
1
1
0
10
9
2
1
0
































y
y
y
y
y
h
x
dx
I
T
 
Simpson formulasiga ko’ra  























8
6
4
2
1
0
9
7
5
3
1
10
0
2
4
3
1
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
h
x
dx
I
S
 












693
,
0
458
,
5
836
,
13
75
,
0
3
1
,
0
729
,
2
2
459
,
3
4
75
,
0
3
1
,
0
556
,
0
625
,
0
715
,
0
833
,
0
2
526
,
0
588
,
0
667
,
0
769
,
0
909
,
0
4
25
,
0
5
,
0
3
1
,
0


























 
 Integrallarning  qiymatini  3  xona  aniqlikda  trapesiya  va  Simpson  formulalari  yordamida 
hisoblang. 
 
 
1. 


6
,
1
8
,
0
2
1
2x
dx
 
 
2. 


8
,
2
2
,
1
2
2
,
3
x
dx
 
 
3. 


2
1
2
3
,
1
2x
dx
 
 
4. 


2
,
1
2
,
0
2
1
x
dx
 
 
5. 


4
,
1
6
,
0
2
3
2x
dx
 
 
6. 


2
,
1
4
,
0
2
5
,
0
2
x
dx
 

 
213
 
7. 


4
,
2
4
,
1
2
1
3x
dx
 
 
8. 


4
,
2
2
,
1
2
5
,
0
x
dx
 
 
9. 


2
,
1
4
,
0
2
3
x
dx
 
 
10. 


6
,
1
6
,
0
2
2
1
x
dx
 
 
11. 


3
2
2
1
x
dx
 
 
12. 


5
,
1
5
,
0
2
2
x
dx
 
 
13. 


6
,
2
2
,
1
2
6
,
0
x
dx
 
 
14. 


2
,
2
4
,
1
2
1
3x
dx
 
 
15. 


8
,
1
8
,
0
2
4
x
dx
 
 
16. 


6
,
2
8
,
1
2
25
,
0
x
dx
 
 
17. 


6
,
1
6
,
0
2
8
,
0
x
dx
 
 
18. 


2
2
,
1
2
2
,
1
x
dx
 
 
19. 


2
,
2
4
,
1
2
6
,
0
2x
dx
 
 
20. 


2
,
4
2
,
3
2
1
5
,
0 x
dx
 
 
21. 


8
,
1
8
,
0
2
3
,
0
2x
dx
 
 
22. 


0
,
2
2
,
1
2
5
,
1
5
,
0 x
dx
 
 
23. 


1
,
3
1
,
2
2
3
x
dx
 
 
24. 


3
,
2
3
,
1
2
1
2
,
0 x
dx
 
 
25. 


4
,
1
4
,
0
2
5
,
0
12x
dx
 
 
26. 


3
,
2
3
,
1
2
4
,
0
3x
dx
 
 
27. 


8
,
2
4
,
1
2
7
,
0
5
,
1 x
dx