Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari

 
 
 
Mustaqil ishlash bo’yicha savollar 
1. Differensial tenglamalar uchun Koshi masalasi qanday qo’yiladi ? 
2. Birinchi  tartibli  differensial  tenglamalarni  yechishning  Eyler  usulini 
tushintirib bering. 
3. Birinchi  tartibli  differensial  tenglamalarni  yechishning  Runge-Kutta 
usulini tushintirib bering. 
 
9. Kollokatsiya, Galyorkin usullari 
Ishdan  maqsad:    Birinchi  tartibli  differensial  tenglama uchun qo`yilgan 
chegaraviy  masalalarni  kollokatsiya,  Galyorkin  usullari  bilan  yechishni 
o’rgatich 
 
 

 
219
 
Masalaning qo`yilishi. ChM quyidagidan iborat. Quyidagi  differentsial tenglamaning 
 
 
 
b
x
a
,
x
f
u
x
q
u
x
p
u
Lu








   
 
     (1) 
ikkita chegaraviy shartlarni  
 
 
 
 
,
,
1
1
1
1
0
0
0
0














b
u
b
u
u
l
a
u
a
u
u
l
  
   
            (2) 
qanoatlantiruvchi  echimini  topish  talab  etiladi,  bu  erda  p(x),  q(x),  f(x) 
C[a,b]  –  berilgan 
funktsiyalar, 
j
j
j



,
,
 - berilgan sonlar, ya`ni 
.
1
,
0
,
0
2
2



j
j
j


 
Agar  (2)  shartlarda 
0
,
1


j
j


  bo`lsa,  u  holda  bu  chegaraviy  shartlar  birinchi  tur 
bo`ladi.  Agar 
1
,
0


j
j


  bo`lsa,  ikkinchi  tur  chegaraviy  shart  deyiladi.  Umumiy  holda  
0
,
0


j
j


 bo`lganda, (2) shartga uchinchi tur chegaraviy shart deb ataladi. 
(1),  (2)  masalani  echishga  quyidagicha  kirishamiz.  Berilgan  [a,  b]  kesmada  ikki  marta 
uzluksiz diffeentsiallanuvchi (ya`ni, S
(2)
[a, b] fazodagi funktsiyalar) chiziqli bog`liq bo`lmagan  

0
, 

1
..., 

n
,  ...,  funktsiyalar  sistemasini  tanlaymiz.  Bunda, 

0
  funktsiya  (2)  chegaraviy  shartlarni 
qanoatlantiradi,  ya`ni  l
0

0
=

0
,  l
1

0
=

1
,  qolgan  funktsiyalar  esa  birjinsli  chegaraviy  shartlarni 
qanoatlantiradi, ya`ni   
l
0

i
=0,  l
1

i
=0,  i=1,2, ... . 
Berilgan {

i
} funktsiyalar sistemasini b a z i s   f u n k t s i y a l a r   s i s t e m a s i  deb ataymiz.  
Bu funktsiyalar sistemasidan  
 
 
 
 
x
a
x
a
x
x
y
n
n
n







...
1
1
0
 
 
 
(3) 
funktsiyani tuzamiz. Bunda  a
i
, 
n
i
,
1

 lar hozircha noma`lum sonlar.  
l
j
,    j=0,1  operatorlar  chiziqli  bo`lganligi  uchun  y
n
(x)  funktsiya  (2)  chegaraviy  shartni 
qanoatlantiradi. Haqiqatdan,   
.
1
,
0
,
0
1
0
1
0


















j
l
a
l
a
l
y
l
j
j
n
i
i
j
i
j
n
i
i
i
j
n
j






 
Quyidagi 


 
 
 
 
 







n
k
k
k
n
n
x
L
a
x
f
x
L
x
f
x
Ly
a
a
a
x
1
0
2
1
,
,
,
,




  
(4) 
funktsiya t a f o v u t  deyiladi.  
Tafovut - (1) tenglamaning chap tomonidagi u(x) ning o`rniga y
n
(x) funktsiyani qo`yganda, 
tenglamaning  chap  va  o`ng  tomonlarining  farqini  xarakterlovchi  funktsiyadir.  (4)  tafovut  a
i
  
sonlarga chiziqli boғliqdir. Agar a
i
  sonlarning ayrim qiymatlarida 


n
a
a
a
x
,
,
,
,
2
1


 munosabat 
nolga teng bo`lsa, y
n
(x) funktsiya (1), (2) masalaning echimi bilan mos tushadi.  
Lekin  tafovutni  nolga  teng  qilishga  hamma  vaqt erishib  bo`lavermaydi. SHuning  uchun  a
i
 
sonlarni  ma`lum  usul  bilan  tanlab,  tafovutni  iloji  boricha  kichraytirishga  harakat  qilinadi.  Buning 
natijasida  (3)  munosabat  bilan  aniqlangan  y
n
(x)  funktsiya  (1),  (2)  masalaning  taqribiy  echimi 
sifatida qabul qilinadi. 

 
220
Taqribiy  usullarning  ko`pchiligi  a
i
  sonlarni  aniqlash  yo`li  bilan  bir-biridan  farq  qiladi. 
Quyida shulardan ayrimlarini qarab o`tamiz.  
 
 
Kollokatsiya usuli 
Bu usulga ko`ra [a, b] kesmaning ichida  n  ta  x
1
, x
2
, ..., x
n
 nuqta olinib, ularda tafovut nolga 
tenglashtiriladi:    






.
a
...,
,
a
,
a
,
x
ψ
....
..........
..........
..........
a
...,
,
a
,
a
,
x
ψ
a
...,
,
a
,
a
,
x
ψ
n
n
n
n
0
0
0
2
1
2
1
2
2
1
1



 
 
 
   
         (5) 
Olingan  x
1
,  x
2
,  ...,  x
n
  nuqtalarga  kollokatsiya  nuqtalari  deyiladi.  Olingan  (5)  chiziqli 
algebraik tenglamalar sistemasini (CHATS) a
i
 larga nisbatan  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.
...
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
,
...
,
...
0
2
2
1
1
2
0
2
2
2
2
2
2
1
1
1
0
1
1
1
2
2
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
L
x
f
x
L
a
x
L
a
x
L
a
x
L
x
f
x
L
a
x
L
a
x
L
a
x
L
x
f
x
L
a
x
L
a
x
L
a



























      (6) 
shaklda  yozamiz.  Uni  echib,  a
i
, 
n
i
,
1

  larni  (3)  ga  qo`yib,  (1),  (2)  masalaning  taqribiy    y
n
(x) 
echim topiladi. 
Galyorkin  usulining  asosida 

1
, 

2
,...,

n
    bazis  funktsiyalari  (4)  tafovut  funktsiyasiga 
ortogonal qilib tanlanadi, ya`ni  

  
.
n
,
i
,
dx
x
a
,...,
a
,
a
,
x
b
a
i
n
1
0
2
1





 
Bu shartlardan a
i
 noma`lumlarni topish uchun  





 






 






 

n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
,
L
f
,
L
a
...
,
L
a
,
L
a
.........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
,
,
L
f
,
L
a
...
,
L
a
,
L
a
,
,
L
f
,
L
a
...
,
L
a
,
L
a







































0
2
2
1
1
2
0
2
2
2
2
2
1
1
1
0
1
1
2
2
1
1
1
 
 
ChATSga ega bo`lamiz. 
1-misol. Chekli ayirmalar usuli qo’llanib ushbu  
2492
.
0
)
4
,
1
(
,
0
)
1
(
,
4
'
3
''




u
u
u
x
u
 
chegaraviy masala yechimining u(1.1), u(1.2) va u(1.3) qiymatlari topilsin. 
Yechish: u``, u` hosilalarni ayirmali hosilalar bilan almashtirib, quyidagilarni olamiz: 
4
2
2
1
1
3
2
1
1








h
y
y
x
h
y
y
y
i
i
i
i
i
i
 
yoki 
2
1
3
1
3
1
1
8
2
4
2
h
hy
x
hy
x
y
y
y
i
i
i
i
i
i
i









 

 
221
yoki  
2
1
3
1
3
8
)
2
(
4
)
2
(
h
y
h
x
y
y
h
x
i
i
i
i
i







     
 
(7) 
Bizda h=0.1 . Uni va x
1
=1.1 , x
2
=1.2 , x
3
=1.3 , y
0
=0, y
4
=0.2492 larni (7) tenglamaga qo’yib ushbu 
sistemani tuzamiz: 























         
          
          
0.1
8
y
 
0.1)
1.3
-
(2
4y
-
0,1)y
1,3
(2
0,1
8
y
 
0,1)
1,2
-
(1
4y
-
0.1)y
1.2
(2
0.1
8
  
0.1)y
1.1
-
(2
4y
-
y
 
0.1)
1,1
(2
 
2
4
3
3
2
3
2
3
3
2
1
3
2
2
3
1
0
3
 
Sistemani yechib y
1
= -0.0093, y
2
=0.0216, y
3
=0.1029  larni topamiz.Ular u(x) yechimning 
izlanayotgan qiymatlarini 
4
10
1


aniqlikda ifodalaydi.  
Kollokatsiya usuli 
2-misol. Kollokatsiya usuli qo’llanib , 
0
)
'
,
,
(
''


y
y
x
f
y
 
Tenglamaning y(-1)=y(1)=0 chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin. 
Yechish: Tenglama  va chegaraviy  shartlarga qaraganda  izlanayotgan  yechim  juft  funksiya  bo’lishi 
kerak. 
Bazis funksiyalar sifatida u
0
(x)=0 , u
1
(x)=1-x
2
 , u
2
(x)=x
2
(1-x
2
) ko’phadlarni olamiz. 
Yechimni 
)
)(
1
(
)
1
(
)
1
(
2
1
1
2
2
2
1
2
1
x
с
с
x
x
x
с
x
с
y







 
ko’rinishda  izlaymiz. 
Kolakotsiya nuqtalari 
5
,
0
,
0
1
0


x
x
 bo’lsin.  
Bizda 
.
)
11
2
(
)
1
(
)
)(
1
(
)"
)(
1
(
,
1
)
(
2
6
2
1
4
2
2
1
4
2
2
1
2
с
x
x
с
x
x
с
с
x
x
с
с
x
y
L
x
f














 
Bog’lanmaganlik: 
.
)
11
2
(
)
1
(
1
)
(
)
(
)
(
2
6
2
1
4
с
x
x
с
x
x
f
y
L
x
R








 
Bunda 
5
,
0
,
0
1
0


x
x
  qiymatlarni  qo’yib, 
0
64
49
16
17
1
,
0
2
1
2
1
2
1






c
c
c
c
    sistemani 
tuzamiz.  
Bundan 
022
,
0
,
957
,
0
2
1



c
c
 olinadi.  
Izlanayotgan yechim: 
).
1
(
022
,
0
)
1
(
0957
2
2
2
x
x
x
y




 
Galyorkin usuli 
3- misol. 
0
)
1
(
'
)
1
(
,
2
)
0
(
'
,
2
2
'
2
"
2







y
y
y
x
y
xy
y
  
chegaraviy masala Galyorkin usuli qo’llanilib yechilsin. 
Yechish:  
),....
(
),
(
1
0
x
u
x
u
 funksiyalar sistemasini  
,....
,
,
1
2
x
x
  funksiyalar kombinatsiyalari 
ko’rinishda tanlaymiz.  
Bunda 
0
)
1
(
)
1
(
,
2
)
0
(
1
0
0
1
0




u
u
u
  bo’lsin. 
)
(
0
x
u
 
ni   
cx
b
x
u


)
(
0
  ko’rinishda 
izlaymiz. 
,
)
(
1
0
c
x
u

ikkinchi  tomondan  shartga  ko’ra 
,
0
)
1
(
)
1
(
;
2
1
0
0




u
u
с
  yoki  
,
0
)
1
(




c
c
b
 bundan 
4

b
. 
Shunday 
qilib 
.
2
4
)
(
0
x
x
u


 
 
 
G
0
 
[u
k
]=0 
, 
 
G
1
 
[u
k
]=0 
yoki  
)
(
.
0
)
1
(
)
1
(
,
0
)
0
(
1
1
x
u
u
u
u
k
k
k
k



 funksiyalarni 
1
)
(



k
k
k
x
b
x
u
 ko’rinishida izlaymiz  
0
)
1
(
)
0
(
.
1



k
k
x
k
u
 
Bunga qaraganda G
0
[u
k
]=0  shart bajarilmoqda.  
Ikkinchi  shart  G
1
[u
k
]=0  dan  foydalanib    b
k
    ni  xisoblaymiz    : 
0
1
)
1
(
)
1
(
1






k
k
k
k
b
 
bundan b
k
=-(k+2).  

 
222
Biz k=1,2  bo’lgan hollar bilan chegaralanamiz.  
u
0
  (x)=4-2x  ,    u
1
(x)=-3+x
2
  ,  u
2
(x)=-4+x
3     
bazis  funksiyalar  sistemasi    hosil  bo’ladi.  Yechimni 
u(x)=u
0
(x)+c
1
u
1
(x)+ c
2
u
2
(x) ko’rinishida izlaymiz : 
L[u
0
]=(4-2x)+2x(4-2x)’=2(4-2x)=2(4-2x)=-8, 
L[u
1
]=(x
2
-3)”+2x(x
2
-3)’-2(x
2
-3)=2x
2
+8, 
L[u
2
]=(x
3
-4)”+2x(x
3
-4)’-2(x
3
-4)=4x
3
+6x+8, 








1
0
2
2
1
0
1
1
11
93333
,
22
)
8
2
)(
3
(
]
[
)
(
dx
x
x
dx
u
L
x
u
a








1
0
1
3
1
0
1
2
12
,
33333
,
32
)
8
2
)(
4
(
]
[
)
(
dx
x
x
dx
u
L
x
u
a
 









1
0
3
2
1
0
2
1
21
,
16667
,
31
)
8
6
4
)(
3
(
]
[
)
(
dx
x
x
x
dx
u
L
x
u
a









1
0
3
2
1
0
2
2
22
93333
,
44
)
8
6
4
)(
4
(
]
[
)
(
dx
x
x
x
dx
u
L
x
u
a









1
0
2
2
1
0
0
1
1
3333
,
22
)
8
2
)(
3
(
}
]
[
)
(
){
(
dx
x
x
dx
u
L
x
f
x
u
b









1
0
2
3
1
0
0
2
2
33333
,
32
)
8
2
)(
4
(
}
]
[
)
(
){
(
dx
x
x
dx
u
L
x
f
x
u
b
 







2
22
2
12
1
1
21
2
11
1
b
a
c
a
c
b
a
c
a
c
 











,
33333
,
32
22857
,
44
3333
,
32
,
93333
,
22
1667
,
31
93333
,
22
2
1
2
1
c
c
c
c
 
Bundan s
1
=1, s
2
=0 aniqlanadi. Izlanayotgan yechim: 
1
2
)
(
0
)
(
1
)
(
)
(
2
2
1
0








x
x
x
u
x
u
x
u
x
y