Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari

Mustaqil ishlash bo’yicha savollar 
1. Aniq  integrallarni  sonli  integrallashning  trapesiya  formulasini 
yozing. 
2. Trapesiya formulasining qoldiq hadini baholang. 
3.  Aniq integrallarni sonli integrallashning Simpson formulasini yozing. 
4.  Simpson formulasining qoldiq hadini baholang. 
 
8. Oddiy differensial tenglamalar (ODT) uchun qo`yilgan masalalarni 
sonli yechish. Koshi masalasi. Eyler, Runge-Kutta ussullari. 
 
Ishdan maqsad:  Birinchi tartibli differensial tenglama uchun qo`yilgan Koshi masalasini 
Eyler, Runge-Kutta usulida yechishni talabalarga o’rgatish quyidagilarni o’z ichiga oladi: 
  differensial tenglamani integrallashga sonli usulni qo’llash;  
  hisoblash ishini tashkil qilish va bajarish;  
  masalani yechish dasturini tuzish va sonli natijalar olish. 
 
Masalaning qo’yilishi. 
 Birinchi tartibli differensial tenglama 


y
x
f
y
,


                                                (1) 


b
x ,
0
  kesmada 
0
0
y
y
x
x


 
 
                        (2) 

 
214
boshlang’ich  shart  bilan  berilgan  bo’lsin. 
b
x    nuqtada  noma’lum 
 
x
y
y 
  funksiyaning 
qiymatini taqribiy hisoblash talab qilinsin. 
Agar  berilgan  masalaning 
 
x
y


yechimini  topish  mumkin  bo’lganda, 
b
x    nuqtada, 
ravshanki,   
 
b
y
b
x



  ni  topishimiz  mumkin  bo’ladi.  Lekin  aksariyat  hollarda  masalaning 
umumiy yechimini topib bo’lmaydi. Bunday hollarda taqribiy (sonli) usullar qo’llaniladi. 
Differensial tenglamani integrallashning eng keng tarqalgan sonli usullaridan biri Runge-
Kutta usulidir.  
Usul tavsifi 


b
x ,
0
  kesmada    hosilaga  nisbatan  yechilgan  birinchi    tartibli 
differensial tenglama  


y
x
f
dx
dy
,

 
berilgan bo’lsin va  
0
x
x 
 nuqtada 
0
y
y 
 boshlang’ich shart o’rinli bo’lsin.  
n
x
b
H
0


 qadamni tanlaymiz va quyidagi belgilashni kiritamiz: 
ih
x
x
i


0
 va 
  

n
i
x
y
y
i
i
,...,
3
,
2
,
1


.  Quyidagi sonlarni qaraymiz: 
 


i
i
i
y
x
hf
K
,
1

,  
 
 











2
,
2
1
2
i
i
i
i
K
y
H
x
hf
K
 
 
 
 
 
 


i
i
i
i
i
i
i
i
K
y
H
x
hf
K
K
y
H
x
hf
K
3
4
2
3
,
,
2
,
2














   
(3) 
Runge  –  Kutta    usuli  bo’yicha 
H
x
x
i
i


1
    nuqtada  taqribiy  yechimning 
1

i
y
    qiymati 
quyidagi formula bo’yicha hisoblanadi 
i
i
i
y
y
y



1
 
  (4) 
bu yerda 
 
 
 
 




,...
2
,
1
,
0
2
2
6
1
4
3
2
1






i
K
K
K
K
y
i
i
i
i
i
 
 
Bu  usul  bo’yicha  bajariladigan  hisoblashlar  quyidagi  jadvalga  sxema  bo’yicha 
joylashtiriladi: 
1 –jadval 
i
 
x
 
y
 


y
x
f
H
K
,


 
y

 
0 
x
0
 
y
0 
 
0
1
K
 
 
0
1
K
 
 
2
0
H
x 
 
 
 
2
0
1
0
K
y 
 
 
0
2
K
 
 
0
2
K
 
 
2
0
H
x 
 
 
2
0
2
0
K
y 
 
 
0
3
K
 
 
0
3
K
 
 
H
x 
0
 
 
0
3
0
K
y 
 
 
0
4
K
 
 
0
4
K
 
 
 
 
 
0
y

 
1 
1
x
 
1
y
 
 
 

 
215
 
1 —jadvalni to’ldirish  tartibi. 
12) Jadvalning birinchi satriga 
0
0
, y
x
  berilgan qiymatlarni yozamiz. 
13)


0
0
, y
x
f
  ni hisoblab 
H
 ga ko’paytiramiz va 
 
0
1
K
 sifatida jadvalga yozamiz. 
14)  Jadvalning ikkinchi satriga 
 
2
,
2
0
1
0
0
K
y
H
x


 larni yozamiz. 
15) 
 
)
2
,
2
(
0
1
0
0
K
y
H
x
f


ni hisoblab 
H
 ga ko’paytiramiz va 
 
0
2
K
 sifatida jadvalga 
yozamiz. 
16)  Jadvalning uchinchi satriga 
 
2
,
2
0
2
0
0
K
y
H
x


 larni yozamiz. 
17) 
 










2
,
2
0
2
0
0
K
y
H
x
f
ni hisoblab 
H
 ga ko’paytiramiz  va 
 
0
3
K
 sifatida jadvalga 
yozamiz.  
18) Jadvalning to’rtinchi satriga 
 
0
3
0
0
,
K
y
H
x


larni yozamiz. 
19)  
 


0
3
0
0
,
K
y
H
x
f


ni hisoblab 
H
 ga ko’paytiramiz  va 
 
0
4
K
 sifatida jadvalga yozamiz.  
20) 
y

 ustuniga 
 
 
 
 
0
4
0
3
0
2
0
1
,
2
,
2
,
K
K
K
K
 larni yozamiz.  
21)  
y

 ustundagi sonlarning yig’indisi 6 gabo’lib, 
0
y

 sifatida jadvalga yozamiz.  
22)  
0
0
1
y
y
y



 ni hisoblaymiz. 
 
Keyingi  navbatda 
)
,
(
1
1
y
x
ni  boshlang’ich  nuqta  sifatida  qarab    hisoblashlarni  shu  singari 
davom qildiramiz. 
 
Runge-Kutta  usuli  yordamida  EHMlarida  qadamni  avtomatik  tanlab  hisoblashlar 
bajarilganda  hasoblashlar  ikki  marta  bajariladi.  Birinchisida 
H
qadam  bilan,  ikkinchisida  esa 
2
H
h 
 qadam bilan. Agar bu holda olingan 
i
y  ning qiymatlari berilgan aniqlikdan oshsa, u holda 
keyingi  
1

i
x
 nuqtagacha qadam ikkilanadi, aks holda yarim qadam qo’llaniladi. 
Runge  -  Romberg  qoidasi  
 
H
k
y
  va 
 
h
k
y
  izlanayotgan  funksiyaning  mos  ravishda 
H
 
va 
h
 qadamlarda hisoblangan qiymatlari  hamda 

 - berilgan absolyut xatolik bo’lsin.  
Barcha 
k
 larda ushbu 
 
 
 
 
 
 
 



H
k
h
k
y
y
2
15
1
 
 
       
 
(6) 
tengsizlik  bajarilganda  berilgan  aniqlikdagi  hisoblashga  erishildi  deb  hisoblanadi.   
H
  va 
h
 
qadamlarda  izlanayotgan  funksiyaning  qiymatlari  hisoblanadi  va  (6)  tengsizlik  teksheriladi.  Agar  (6) 
tengsizlik  barcha 
k
 larda bajarilsa hisoblashlar yakunlanadi. 
Misol 
Runge - Kutta  usulida   [0 ; 0,45]   kesmada  
y
x
y



  differensial tenglamaning (Koshi 
masalasini) 
0

x
  da 
1

y
      boshlang’ich      shartni  qanoatlantiruvchi    taqribiy  yechimini  0.001 
aniqlikda hisoblang. 

 
216
Yechish 
 
 
001
,
0
4

H
      tengsizlikda  kelib  chiqqan  holda 
15
,
0

H
  qadamni  tanlaymiz.  
U  holda 
3

n
  bo’ladi  va  qadamni  2    marta  kamaytiramiz,  ya’ni 
075
,
0

h
    ni  tanlaymiz,  u 
holda 
6

n
 bo’ladi.  
 
 
Qulaylik  uchun  hisoblash  natijalarini  2  -  jadvalga  yozamiz.  Oxirgi  ustundan 
barcha 
k
  lar  uchun  (6)  tengsizlik  bajarilishi  ko’rinib  turibdi.  Ya’ni  hisoblashning  berilgan 
aniqligiga  erishiladi.  Bu  holda 


6866
,
1
45
,
0

y
  qiymatni  taqribiy  topamiz.  Berilgan 
boshlang’ich shartda qaralayotgan tenglamaning aniq yechimi quyidagicha bo’ladi: 
1
2



x
e
y
x
  
Bundan kelib chiqadiki, 
68662
.
1
1
45
.
0
2
45
.
0
45
,
0





e
y
x
bo’ladi va absolyut xato 
0,00002
1,6866
 
-
 
1,68662


y
| 
hamda nisbiy xato 
%
001
.
0
68662
.
1
00002
.
0


y

 kabi bo’ladi 
 
 
2 -jadval 
 
 
 
 
 
k
 
 
x
 
y
 


y
x
Hf
K
,


 
y

 
x
 
y
 


y
x
f
h
K
,



 
 
 
 
h
k
H
k
K
K
2
15
1


0 
0 
 
1 
0,15 
0,15 
0 
1 
0,075 
0,075 
 
  0,075 
1,075 
0,1725 
0,375 
0,0375  1,0375 
0,0806 
0,1613 
0 
  0,075  1,0863 
0,1742 
0,3484  0,0375  1,0403 
0,0808 
0,1617 
 
 
0,15 
1,1742 
0,1986 
0,1937 
0,075 
1,0808 
0,0867 
0,0867 
 
 
 
 
 
0,1737 
 
 
 
0,0808 
 
1 
 
 
 
 
0,075 
1,0808 
0,0867 
0,0867 
 
 
 
 
 
 
0,1125  1,1241 
0,0927 
0,1855 
 
 
 
 
 
 
0,1125  1,1272 
0,0920 
0,1860 
 
 
 
 
 
 
0,15 
1,2668 
0,1063 
0,1063 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,0941 
 
2  0,15 
1,1737  0,
19
0,1986 
0,15 
1,1736 
0,0993 
0,0993 
 
  0,225  1,2730  0,2247 
0,4494  0,1875  1,2233 
0,1058 
0,2116  0,000006 
  0,225  1,2860  0,2267 
0,4533  0,1875  1,2266 
0,1061 
0,2121 
 
 
0,30 
1,400 
0,2551 
0,2551 
0,225 
1,2798 
0,1129 
0,1129 
 
 
 
 
 
0,2261 
 
 
 
0,1060 
 
3 
 
 
 
 
0,225 
1,2796 
0,1128 
0,1128 
 
 
 
 
 
 
0,2625  1,3360 
0,1199 
0,2398 
 
 
 
 
 
 
0,2625  1,3395 
0,1202 
0,2403 
 
 
 
 
 
 
0,3 
1,5199 
0,1365 
0,1365 
 

 
217
 
 
 
 
 
 
 
 
0,1216 
 
4  0,30 
1,3998  0,
25
0,2550 
0,3 
1,3997 
0,1275 
0,1275 
 
  0,375  1,5273  0,2853 
0,5707  0,3375  0,4634 
0,1351 
0,2701  0,0000006 
  0,375  1,5425 
0,2876 
0,5752  0,3375  1,4672 
0,1354 
0,2707 
 
 
0,45 
1,6874 
0,3206 
0,3206 
0,375 
1,5351 
0,1433 
0,1433 
 
 
 
 
 
0,2859 
 
 
 
0,1353 
 
5 
 
 
 
 
0,375 
1,5350 
0,1433 
0,1433 
 
 
 
 
 
 
0,4125  1,6027 
0,1411 
0,3023 
 
 
 
 
 
 
0,4125  1,6106 
0,1517 
0,3035 
 
 
 
 
 
 
0,45 
1,6867 
0,1603 
0,1603 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,1516 
 
6  0,45 
1,6867 
 
 
0,45 
1,6866 
 
 
0,000006 
 
 
Berilgan birinchi tartibli differensial tenglamani Runge-Kutta usulida yeching. 
 
1. 
5
cos
y
x
y



 
 
6
,
2
8
,
1
0

y
 


8
,
2
;
8
,
1

x
 
2. 
3
cos
y
x
y



 
 
6
,
4
6
,
1
0

y
 


6
,
2
;
6
,
1

x
 
3. 
10
cos
y
x
y



 


8
,
0
6
,
0
0

y
 


6
,
1
;
6
,
0

x
 
4. 
2
cos
y
x
y



 


4
,
1
8
,
0
0

y
 


8
,
1
;
8
,
0

x
 
5. 
11
cos
y
x
y



 
 
5
,
2
1
,
2
0

y
 


1
,
3
;
1
,
2

x
 
6. 
5
sin
y
x
y



 
 
6
,
2
8
,
1
0

y
 


8
,
2
;
8
,
1

x
 
7. 
3
sin
y
x
y



 
 
6
,
4
6
,
1
0

y
 


6
,
2
;
6
,
1

x
 
8. 
10
sin
y
x
y



 


8
,
0
6
,
0
0

y
 


6
,
1
;
6
,
0

x
 
9. 
3
sin
y
x
y



 


4
,
1
8
,
0
0

y
 


8
,
1
;
8
,
0

x
 
10. 
11
sin
y
x
y



 
 
5
,
2
1
,
2
0

y
 


1
,
3
;
1
,
2

x
 
11. 
12
cos
y
x
y



 
 
6
,
2
8
,
1
0

y
 


8
,
2
;
8
,
1

x
 
12. 
2
cos
y
x
y



 
 
6
,
4
6
,
1
0

y
 


6
,
2
;
6
,
1

x
 

 
218
13. 
4
cos
y
x
y



 


8
,
0
6
,
0
0

y
 


6
,
1
;
6
,
0

x
 
14. 
5
sin
y
x
y



 


4
,
1
8
,
0
0

y
 


8
,
1
;
8
,
0

x
 
15. 
2
sin
y
x
y



 
 
5
,
2
1
,
2
0

y
 


1
,
3
;
1
,
2

x
 
16. 
2
y
x
y
y



 
 
0
,
1
1
0

y
 


0
,
2
;
0
,
1

x
 
17. 
e
y
x
y
sin



 
 
5
,
2
4
,
1
0

y
 


4
,
2
;
4
,
1

x
 
18. 
2
sin
y
x
y



 
 
3
,
1
8
,
0
0

y
 


8
,
1
;
8
,
0

x
 
19. 
3
sin
y
x
y



 
 
5
,
1
1
,
1
0

y
 


1
,
2
;
1
,
1

x
 
20. 
11
sin
y
x
y



 


2
,
1
6
,
0
0

y
 


6
,
1
;
6
,
0

x
 
21. 
25
,
1
sin
y
x
y



 


8
,
1
5
,
0
0

y
 


5
,
1
;
5
,
0

x
 
22. 
15
sin
y
x
y



 


1
,
1
2
,
0
0

y
 


2
,
1
;
2
,
0

x
 
23. 
3
,
1
sin
y
x
y



 
 
8
,
0
1
,
0
0

y
 


1
,
1
;
1
,
0

x
 
24. 
3
,
0
sin
y
x
y



 


6
,
0
5
,
0
0

y
 


5
,
1
;
5
,
0

x
 
25. 
7
,
0
sin
y
x
y



 
 
4
,
1
2
,
1
0

y
 


2
,
2
;
2
,
1

x
 
26. 
25
,
1
cos
y
x
y



 


8
,
0
4
,
0
0

y
 


4
,
1
;
4
,
0

x