Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

 
Nazorat savollari? 
1.  Kuchlanishlar va deformatsiyalar orasidagi bog’lanishlar umumiy holda nechta 
koeffisientdan iborat? 
2.  Deformasiyalanish termodinamikasi deganda nimani tushunasiz?. 
3.   Elastik potensial nima?.  
4.  Deformatsiuaning qoshimcha ishi qanday topiladi? 
5.  Umumlashgan Guk qonuni ayting? 
 
Darslik va o’quv qo’llanmalar 
 
1. R.I.Xolmurodov, X.X.Xudoynazarov “Elastiklik nazariyasi” I-II qism. Toshkent, fan, 
    2003 y. 
2.Mamatqulov Sh. Elastiklik nazariyasidan ma’ruzalar. T.: Universitet, 1995. 
3.Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М., Мир, 1975. 
4.Александров А.В. Потапов В.Д «Основы теории упругости и пластичности» М.Выс.шк. 
1990г.  400ст. 
5.В.И. Самул «Основы теории упругости и пластичности» М. Выс.шк. 1982г. 264 ст. 
6.С.П.Рекач. Руководство к решению задач по теории упругости. М. 1977 г. 
7.Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц.  «Теория упругости.»  1965 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 

 
82
6-MAVZU 
«Elastik simmetriya turlari. Bir jinsli izotrop jism uchun umumlashgan 
Guk qonuni. Izotrop jismning texnik o’zgarmaslari. Klapeyron, 
Kastilyano va Betti formulalari.» 
 
6.1. « Elastik simmetriya turlari. Bir jinsli izotrop jism uchun umumlashgan Guk qonuni. Izotrop 
jismning texnik o’zgarmaslari. Klapeyron, Kastilyano va Betti formulalari » mavzusining 
texnologik modeli 
 
O’quv soati – 2 soat 
Talabalar soni:  50 ta 
O’quv mashg’ulot shakli 
Ma’ruza (ma’ruzali dars) 
Ma’ruza rejasi 
1.  Elastik simmetriya turlari. 
2.   Bir jinsli izotrop jism uchun umumlashgan Guk qonuni. 
3.   Izotrop jismning texnik o’zgarmaslari.  
4.  Klapeyron, Kastilyano va Betti formulalari 
O’quv  mashg’ulotining  maqsadi:  Relaksasiya  va  polzuchest  xarakteristikalari  haqida  tushuncha 
berish. 
Pedagogik vazifalar: 
O’quv faoliyati natijalari: 
Elastik simmetriya turlari. Bir jinsli izotrop 
jism uchun umumlashgan Guk qonuni 
o’rgatish  
 
Simmetriya turlari va shartlari haqida tasavvurga 
ega bo’ladi 
 Izotrop jismning texnik o’zgarmaslari bilan 
tanishtirish.  
 
Texnik o’zgarmaslarni ma’nosini tushunadi 
 Klapeyron, Kastilyano va Betti formulalari 
keltirib chiqarish  
 
Formulalarni o’rganadi 
O’qitish vositalari 
O’UM, ma’ruza matni, rasmlar, plakatlar, doska 
O’qitish usullari  
Axborotli ma’ruza, blis-so’rov, texnika-insert 
O’qitish shakllari  
Frontal, kollektiv ish 
O’qitish sharoiti  
Texnik  vositalar  bilan  ta’minlangan,  guruxlarda  ishlash    usulini 
qo’llash mumkin bo’lgan auditoriya.    
Monitoring va baholash 
og’zaki savollar, blis-so’rov 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
83
6.2. « Elastik simmetriya turlari. Bir jinsli izotrop jism uchun umumlashgan Guk qonuni. Izotrop 
jismning texnik o’zgarmaslari. Klapeyron, Kastilyano va Betti formulalari » mavzusining 
texnologik xaritasi  
 
Ish bosqich-
lari 
 
O’qituvchi faoliyatining mazmuni 
Tinglovchi 
faoliyatining mazmuni 
 
1-bosqich. 
Mavzuga  
kirish  
(20 min) 
1.18.  O’quv 
mashg’uloti 
mavzusi, 
 
rejasi, 
pedagogning  vazifasi  va  talabaning  o’quv  faoliyati 
natijalarini aytadi. 
1.19.  Baxolash mezonlari  (1 – ilova). 
1.20.  Mavzuni  jonlashtirish  uchun  «Blis-so’rov» 
savollarini    beradi.    Blis-so’rov  usulida  natijasiga 
ko’ra tinglovchilarning nimalarda adashishlari, xato 
qilishlari 
mumkinligining 
tashxizini 
amalga 
oshiradi (2-ilova). 
1.21.  Texnika-insert  usulida 
mavzu 
bo’yicha 
ma’lum  bo’lgan  tushunchalarni    faollashtiradi.    (3-
ilova ). 
 
Tinglaydilar.  
Yozib oladilar. 
 
 
Tinglaydilar. 
Yozib oladilar. 
 
Aniqlashtiradilar, savollar 
beradilar. 
 
2 -bosqich. 
Asosiy bo’lim 
(50 min) 
2.1. Savol yuzasidan ma’ruza qiladi. 
2.2.Ma’ruza rejasining hamma savollar bo’yicha   
tushuncha beradi. (4 - ilova). 
2.2. Ma’ruzada berilgan  savollar yuzasidan 
umumlashtiruvchi xulosa beradi. (5 - ilova). 
2.4.Tayanch iboralarga qaytiladi.  
2.5. Talabalar ishtirokida ular yana bir bor 
takrorlanadi. 
Tinglaydilar. 
 
Javob beradilar 
 
Yozadilar. 
 
UMKga qaraydilar 
 
Har bir tayanch tushuncha va 
iboralarni muhokama qiladilar. 
 
3-bosqich.  
Yakunlovchi 
(10 min) 
c.   Mashg’ulot  bo’yicha  yakunlovchi  xulosalar 
qiladi.  Mavzu  bo’yicha  olingan  bilimlarni  qayerda 
ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi. 
3.2. Mavzu bo’yicha bilimlarni chuqurlashtirish 
uchun adabiyotlar ro’yxatini beradi. 
3.3. Keyingi mazvu bo’yicha tayyorlanib kelish 
uchun savollar beradi. 
 
 
 
Savollar beradilar. 
 
UMKga qaraydilar. 
 
UMKga qaraydilar. 
 
Uy vazifalarini yozib oladilar 
 
 

 
84
Elastik simmetriya turlari. Bir jinsli izotrop jism uchun umumlashgan Guk qonuni. Izotrop jismning 
texnik o’zgarmaslari. Klapeyron, Kastilyano va Betti formulalari   
 
Reja: 
1.  Elastik simmetriya turlari. 
2.   Bir jinsli izotrop jism uchun umumlashgan Guk qonuni. 
3.   Izotrop jismning texnik o’zgarmaslari.  
    4. Klapeyron, Kastilyano va Betti formulalari  
Adabiyotlar: 1, 2, 3, 4 
Tayanch iboralar: 
Elastik simmetriya, izotrop jism, umumlashgan Guk qonuni, texnik o’zgarmaslar, Klapeyron, 
Kastilyano va Betti formulalari   
1-ilova 
Baholash mezoni: 
 
Har bir savol javobiga                - 2 ball 
 
Har bir qo’shimcha fikrga              - 2 ball 
 
Har bir javoni to’ldirishiga      - 1 ball 
2-ilova 
 
 
 
                      
                . 
                               
      
 
 
 
 
 
 
3-ilova 
 Insert texnikasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring. 
 
№ 
Asosiy tushunchalar 
Belgi 
1. 
Simmetriya 
 
2. 
Izotrop jism 
 
3. 
Ortotrop jism 
 
4. 
Anizotrop jism 
 
5. 
Yung moduli 
 
6. 
Puasson koeffisienti 
 
7. 
Guk qonuni 
 
 Insert jadvali qoidasi 
                  
 
 
 
 
Mavzuni jonlashtirish uchun blist so’rov savollari 
 
 
1. Tabiatdan simmetriyaga misol keltiring? 
2. Biz bilgan simmetriya turlari qaysilar? 
3. Materiallar qarshiligi kursida qaysi texnik o’zgarmaslar bilan 
tanishgansiz? 
4. Qanday jismlar izotrop jismlar deyiladi? 
5. Elastiklik nazariyasida jismning xususiyatlari qanday tanlab olinadi? 
6. Gukni sim ustida o’tkazgan tajribasidan nima xulasaga kelgan? 
V- avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. 
+ - yangi ma’lumot 
-- - olgan bilimiga qarama-qarshi 
? – tushunarsiz (aniqlanishi zarur bo’lgan ma’lumotlar) 
 

 
85
4-ilova 
Elastik simmetriya turlari. 
 
1
0
.  Bitta  elastik  simmetriya  tekisligiga  ega  bo‘lgan  jism.  Faraz  qilaylik,  jism  elastik 
simmetriya tekisligiga ega bo‘lsin. Shu tekislik bilan 
2
1
x
x
 koordinat tekisligini ustma-ust qo‘yamiz. 
U  holda,  agar 
3
x   o‘qining    yo‘nalishini  teskarisiga  almashtirsak,  ya’ni  koordinatalarni 
3
'
3
2
'
2
1
'
1
,
,
x
x
x
x
x
x




 kabi almashtirsak, 
)
(
ij
w

 elastik potensial o‘zgarmaydi. Lekin bunday 
almashtirishda  ko‘chish  vektori  komponentalaridan 
1
u   va 
2
u   lar  o‘zgarmaganlari  holda 
3
u  
komponenta  ishorasini  almashtiradi,  ya’ni 
3
'
3
2
'
2
1
'
1
,
,
u
u
u
u
u
u




  tengliklar  o‘rinli  bo‘ladi. 
Bunday  holatda  deformatsiya  tenzori  komponentalaridan  indeksda  "3"  raqami  bir  marta 
qatnashganlarining  ham  ishoralari  teskarisiga  almashadi,  deformatsiya  tenzorining  qolgan 
komponentalari o‘zgarmaydi, ya’ni 
.
;
;
;
;
;
31
'
31
23
'
23
12
'
12
33
'
33
22
'
22
11
'
11


















 
Demak, 

k
ij


  ko‘paytma  ishorasini  almashtiradi,  qachonki  agar 

ijk
  indekslari  orasida  "3" 
indeksi  toq  son  marta  qatnashsa.  Bunday  holda  elastik  potensialning  (4.37)  ifodasida  hadlar  o‘z 
ishoralarini almashtiradi. U holda 
)
(
ij
w

 elastik potensial o‘zgarmasdan qolishi uchun 

ijk
c
 elastik 
o‘zgarmaslar  tenzorining  indekslarida  "3"  raqami  bir  yoki  uch  marta  qatnashgan  komponentalari 
nolga  teng  bo‘lishlari  kerak.  Bundan  oldingi  paragrafda  keltirilgan  1  -  sxemadan  bunday 
komponentalar soni 8 ta ekanligi ko‘rinadi. 
Shunday qilib,  bitta elastik simmetriya tekisligiga ega  bo‘lgan  jism uchun, koordinat o‘qlari 
yuqorida aytilganidek yo‘naltirilganda (oriyentatsiya qilinganda elastik o‘zgarmaslarning joylashish 
sxemasi quyidagi ko‘rinishni oladi): 
 
1212
2331
2323
3312
3333
2212
2233
222
1112
1133
1122
1111
0
0
0
0
0
0
0
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
    
 
 
 
 (4.40) 
Demak,  bitta  elastik  simmetriya  tekisligiga  ega  bo‘lgan  jismlar  uchun,  bu  tekislik  bilan 
koordinat  tekisliklaridan  biri  ustma-ust  qo‘yilganda  elastik  o‘zgarmaslar  soni  13  tagacha  qisqarar 
ekan. 
2
0
 . Ikkita o‘zaro perpendikular elastik simmetriya tekisligiga ega bo‘lgan jism. 
Faraz  qilaylik  jism  ikkita  simmetriya  tekisligiga  ega  bo‘lsin.  Ular  bilan 
2
1
x
x
  va 
3
1
x
x
 
koordinat  tekisliklarini  ustma-ust  qo‘yamiz.  Ko‘rinib  turibdiki,  bu  holda 

ijk
c
  elastik 
o‘zgarmaslardan  indekslarida  "3"  yoki "2" raqamlari toq son  marta qatnashganlari  nolga aylanadi. 
2-Sxema  dan  ko‘rinadiki,  qoshimcha  ravishda  nolga  aylanadigan  o‘zgarmaslar  4  ta  va  bu  holda 
elastik o‘zgarmaslarning joylashish sxemasi… 
SXEMA - 3 
1212
2323
3333
2233
222
1133
1122
1111
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
C
C
C
C
C
C
C
C
 
 
 
 
 
(4.41) 
Demak, bu holda elastik o‘zgarmaslar soni 9 ta bo‘ladi. 
3
0
. Uchta ortogonal simmetriya tekisligiga ega  bo‘lgan jism.   

 
86
Oxirgi  (4.40)  va  (4.41)  sxemalardan  ko‘rinadiki,  agar  jism  o‘zaro  perpendikular 
)
(
3
1
2
1
x
x
va
x
x
  simmetriyalariga  ega  bo‘lsa, 

ijk
c
  elastik  o‘zgarmaslardan  indekslarida  "1" 
raqami yoki uch marta qatnashganlar ham 
)
,
,
,
(
2331
3312
2212
1112
C
C
C
C
 nolga aylanadi. Demak, agar 
jismda ikkita o‘zaro ortogonal elastik simmetriya tekisligi mavjud bo‘lsa, bu tekisliklarga ortogonal 
uchinchi tekislik ham elastik simmetriya tekisligidan iborat bo‘ladi. 
Uchta ortogonal elastik simmetriya tekisligiga ega bo‘lgan ortotrop jism deyiladi. 
Shuni  alohida  ta‘kidlash  lozimki,  agar  jism  elastik  simmetriya  tekisliklariga  ega  bo‘lsa,  lekin  ular 
koordinat tekisliklari bilan ustma-ust qo‘yilmagan bo‘lsa, elastik o‘zgarmaslar soni kamaymaydi va 
ularning soni 21 taligicha qoladi. Demak, elastik o‘zgarmaslar sonini kamaytirish uchun koordinat 
tekisliklarini albatta elastik simmetriya tekisliklari bilan ustma-ust qo‘yish kerak. 
4
0
. Bitta elastik simmetriya tekisligi va unga ortogonal simmetriya o‘qiga ega bo‘lgan jism. 
5
0
. Ixtiyoriy yo‘nalish elastik simmetriya o‘qi bo‘lgan jism. 
 
 
 Bir jinsli izotrop jism uchun umumlashgan Guk qonuni. 
Elastik jism o‘zining elastik xususiyatlariga nisbatan bir jinsli deyiladi, qachonki agar ushbu 
xususiyatlar  jismning  hamma  nuqtalarida  bir  xil  bo‘lsa,  ya’ni  jismning  elastik  o‘zgarmaslari  jism 
nuqtalarining  koordinatalariga  bog‘liq  bo‘lmasa.  Bir  jinsli  jism  anizotrop  yoki  izotrop  bo‘lishi 
mumkin. 
Jism izotrop deyiladi, qachonki agar uning elastik o‘zgarmaslari bilan xarakterlanuvchi elastik 
xisusiyatlari  jism  ixtiyoriy  nuqtasidan  chiquvchi  hamma  yo‘nalishlar  bo‘yicha  bir  xil  bo‘lsa. 
Bundan ko‘rinadiki,  bir  jinsli  izotrop jismning elastik o‘zgarmaslari koordinat o‘qlari  yo‘nalishiga 
bog‘liq bo‘lmaydi. 
Elastik potensiyal 
)
(
ij
W

  invariant bo‘lganligi  va chiziqli - elastik  jism uchun deformatsiya 
tenzori  komponentalarining  ikkinchi  tartibli  funksiyasi  (ko‘phad)  bo‘lganligi  uchun,  bir  jinsli 
izotrop  jism  uchun  bu  funksiyani  deformatsiya  tenzorining  chiziqli  va  kvadratik  invariantlaridan 
tuzish mumkin: 


),
(
2
)
(
2
1
2
2
1
ij
ij
J
W






   
 
 
 
(4.42) 
bu  yerda 
   va     -  o‘zgarmaslar; 
)
(
1
ij
J

  va 
)
(
2
ij
J

  -  deformatsiya  tenzorining  chiziqli  va 
kvadratik invariantlari: 
 
,
)
(
1
ij
ij
i
ij
J





  
 
 
 
 
 
 
(4.43) 


.
2
1
)
(
2




k
ij
jk
i
j
ik
k
ik
ij
ij
ij
J















 
Lekin, chiziqli invariantning kvadratini 
 
.
)
(
1

k
ij
ki
ij
ij
J






   
 
 
 
 
 
(4.44) 
ko‘rinishda tasvirlab hamda (4.43) ning ikkinchi tengligini hisobga olib, (4.42) ifodani quyidagicha 
yozish mumkin: 






k
ij
jk
i
j
ki
k
ij
W










)
(
2
1



     
 
 
  (4.45) 
Ushbu  (4.45)  -  bir  jinsli  izotrop  jism  uchun  elastik  potensial  ifodasini  elastik  potensialning 
umumiy  -  (4.37)  ifodasi  bilan  solishtirib  bir  isotrop  jism  uchun  elastik  o‘zgarmaslar  tenzori 
komponentalarini topamiz 
)
(
jk
i
j
ki
k
ij
ijk
c















   
 
 
 
 
(4.46) 
Bu esa to‘rtinchi rang izotrop tenzordan iboratdir. Uning komponentalari Lame koeffitsiyentlari deb 
ataluvchi  ikkita 
   va     o‘zgarmaslar    orqali  aniqlanadi.  Bu  holda  elastik  o‘zgarmaslarning 
joylashish sxemasi quyidagi ko‘rinishni oladi: 
6-S X E M A 

 
87












0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
u
u
u



 
 
 
 
 
(4.47) 
Elastik potensialning (4.44) ifodasini (4.29) Grin formulasiga qo‘yib, 






k
jk
i
j
ik
k
ij
ij










)
(



 
 
 
 
 
(4.48) 
ifodaga ega bo‘lamiz. Ammo 
kk
k
k








 - hajmiy deformatsiya va 
,
,
ij
k
jk
i
ij
k
j
ik













 
ekanliklari uchun (4.48) formula 
 
,
2
ij
ij
ij







   
 
 
 
 
 
(4.49) 
ko‘rinishni oladi. Xuddi ana shu ifoda bir jinsli izotrop jism uchun Guk qonunini ifodalaydi va bu 
qonunning olti algebraik tenglamalaridan iborat 
31
31
33
33
23
23
22
22
12
12
11
11
2
;
2
;
2
;
2
;
2
;
2



























  
 
 
 
            (4.50) 
Guk qonunining (4.50) ifodasi 
ij
  larga nisbatan yechilsa,  
.
2
1
;
)
(
2
1
)
(
)
2
3
(
1
;
2
1
;
)
(
2
1
)
(
)
2
3
(
1
;
2
1
;
)
(
2
1
)
(
)
2
3
(
1
31
31
22
11
33
33
23
23
33
11
22
22
12
12
33
22
11
11











































































  
 
 
   (4.51) 
Yuqoridagi (4.50) tenglamalar bir jinslimas izotrop jism uchun ham o‘rinlidir. Bu holda  
  , 
  Lame koeffitsiyentlari jism qaralayotgan nuqtaning 
i
x  koordinatalariga bog‘liq bo‘ladi. 
Agar koordinat o‘qlari deformatsiya tenzorining bosh o‘qlari bilan ustma-ust qo‘yilsa, 
0
31
23
12






 
bo‘ladi va (4.50) ga asosan 
0
31
23
12






 
ifodalarga  ega  bo‘lamiz.  Bu  esa  kuchlanish  tenzorining  ham  bosh  o‘qlari  koordinat  o‘qlari  bilan 
ustma-ust  tushishini  ko‘rsatadi.  Demak,  izotrop  jismning  har  bir  nuqtasida  kuchlanish  va 
deformatsiya tenzorlarining bosh o‘qlari ustma-ust tushadi. 
 
 Izotrop jismning texnik o‘zgarmaslari. 
 
Elastik  jism  izotermik  yoki  adiabatik  deformatsiyalanishi  mumkin.  Har  ikkala  holda  ham 
elastik potensialning musbatligini, ya’ni ixtiyoriy 
ij
  lar uchun 

 
88
0
)
(

ij
W

 
ekanligini  isbotlash  qiyin  emas.  Elastik  potensialning  musbatligidan 
   va     Lame 
koeffitsiyentlarining musbatligi 
)
0
0
(




va
 ekanliklari kelib chiqadi. 
Endi (4.49) tenglikda 
i
 va 
j
 indekslarni bir-biriga tenglab, 
ii
ii




2
3


 
ifodani  olamiz.  Ma’lumki, 
,
ii

 
  ya’ni 


ii

  belgilashni  kiritamiz.  U  holda  yuqoridagi 
tenglikdan 






)
2
3
(
 
yoki 
 
k
k
0
3
2
3










 
 
 
 
 
 
(4.52) 
ifodaga ega bo‘lamiz. Bu yerda 




ii


3
1
3
1
0
 o‘rtacha normal kuchlanish; 




0
3
1


k
 hajmiy siqilish koeffitsiyenti. 
Demak,  (4.52)  dan  ko‘rinadiki, 
   -  hajmiy  deformatsiya  izotrop  jismning  ixtiyoriy  elastik 
deformatsiyalanishida  faqat  kuchlanish  tenzorining 

invariantigagina  bog‘liq  bo‘ladi.  Bu 
bog‘lanish faqatgina hajmiy siqilish koeffitsiyenti bilangina aniqlanadi. 
 
Endi  sof  siljishda  kuchlanish  tenzori  qanday  bo‘lishini  tekshiramiz.  Sof  siljish 
2
1
x
x
 
tekisligida  sodir  bo‘lsin.  Bu  holda  kuchlanish  tenzorining 
21
12



  dan  tashqari  hamma 
ij
  
komponentalari nolga teng bo‘ladi. Demak, 

 0  va (4.52) ga asosan 
0


. U holda (4.50) Guk 
qonuniga asosan 
21
12



 dan tashqari hamma 
ij
  lar nolga teng va 
,
2
12
12



 
bu  yerda 
1
12
0
2
x


  va 
2
0x   o‘qlari  yo‘nalishlari  orasidagi  siljish  burchagi.  Ushbu  tenglikka 
asoslanib Lamening    - elastik o‘zgarmasini siljishdagi elastiklik moduli deb atashadi va  G  orqali 
belgilaydilar 
G


. 
Kuchlanish  tenzori  prizmatik  brusning  bir  o‘qli  cho‘zilishida  qanday  bo‘lishini  tekshiraylik. 
Agar 
3
0x o‘qini brus o‘qi bilan ustma-ust qo‘ysak, u holda qafat 
0
33


 (cho‘zilishda kuchlanish 
musbat), boshqa 
ij
  larning hammasi nolga teng. Demak, (4.52) dan  
33
2
3
1



G


 
U holda Guk qonunining (4.51) ko‘rinishidan 
;
)
2
3
(
;
)
2
3
(
2
33
33
33
22
11









G
G
G
G
G







 
.
0
31
23
12






 
Bu  yerda ko‘rinadiki,  bir o‘qli kuchlanish  holatida deformatsiya tenzori  bir o‘qli  bo‘lmaydi. 
Yuqoridagi tengliklarga quyidagi belgilashlarni kiritamiz. 
 
 
)
(
2
,
)
2
3
(
G
v
G
G
G
E









  
 
 
      (4.54) 

 
89
Bu yerdagi 
E
- kattalik bo‘ylama elastiklik moduli yoki Yung moduli, 
v  - kattalik ko‘ndalang 
deformatsiya koeffitsiyenti yoki Puasson koeffitsiyenti deyiladi. 
Yuqoridagi  munosabatlar  (4.54)  ni  hisobga  olganda  xuddi  materiallar  qarshiligi  kursidagidek 
yoziladi. 
33
33
22
11
33
1






v
E
E






;
 
Kiritilgan  beshta 
V
E
K
G
,
,
,
,



  o‘zgarmaslardan  faqat  ikkitasi  - 
   va     largina 
mustaqildir (o‘zaro bo‘g‘lanmagan). 
Shuni  ta‘kidlash  lozimki,  tajribadan 
E
  va 
V   larni  aniqlash  oson.  Shuning  uchun  Lame 
koeffitsiyentlarini ular orqali ifodalash foydalidir: 
;
)
1
(
2
v
E
G




 
,
)
2
1
)(
1
(
2
1
2
v
v
vE
v
v







   
 
 
 
 
(4.55) 
hamda 
)
2
1
(
3
v
E
k


 
Bu yerdan 
0


 va 
0

E
 bo‘lgani uchun   
0
1

 v
 va 
0
2
1

 v
 ;  demak,
.
5
,
0
1



v
 
Lekin, (4.54) ga asosan 
0

v
 bo‘lgani uchun Puasson koeffitsienti uchun  
5
,
0
0

 v
 
tengsizlikka ega bo‘lamiz. Bu tengsizlik tajribadan ham tastiqlangan. 
Kiritilgan 
K
V
E
,
,
  -  kattaliklar  izotrop  jismning  texnik  elastik  o‘zgarmaslari,  yoki  texnik 
o‘zgarmaslar deb yuritiladi. 
Ana shu texnik kattaliklar yordamida (4.51) ifodalarni soddaroq ko‘rinishda yozish mumkin. 
Guk qonunining (4.49) ko‘rinishini 
ij
  larga nisbatan yechib, 










ij
ij
ij







2
3
2
1
 
 
 
 
 
(4.56) 
tenglikni olamiz va bunga (4.55) larni qo‘yib, 
 






ij
ij
ij
v
v
E



)
1
(
1
  
 
 
 
 
(4.57) 
ga  ega  bo‘lamiz.  Endi  shu  (4.57)  ni  yoyib  yozsak  yoki  (4.51) 
   va     lar  o‘rniga  texnik 
o‘zgarmaslardan foydalansak, Guk qonunining ko‘p ishlatiladigan:  
   




;
1
;
)
(
1
;
1
;
)
(
1
23
23
33
11
22
22
12
12
33
22
11
11












E
v
v
E
E
v
v
E










      
 
 
(4.58)  
shakliga ega bo‘lamiz. 
4.2  -  jadvalda  ba’zi  materiallar  ushun 
G
E,
  va 
V   kattaliklarning  tajribadan  aniqlangan 
qiymatlari keltirilgan. 
4.2-jadval. 
Ba‘zi materiallar uchun 
G
E,
 va 
V  kattaliklarning tajribaviy qiymatlari. 
Material nomi 
Bo‘ylama 
elastiklik 
moduli  
E
 10
9  
Pa 
Siljish 
modul
i  
G   
10
9  
Pa 
Puasson 
koeffitsiyen
ti 
V  
Uglerodli po‘lat... 
2,02,1. 
8,1 
0,240,28 

 
90
Legirlangan 
po‘lat…………... 
2,1 
8,1 
0,250,30 
Po‘lat quyma….. 
1,75 
- 
- 
Kulrang cho‘yan 
1,151,60 
4,5 
0,230,27 
Dyuraluminiy 
(katanniy) 
0,78 
2,7 
- 
Aluiminiy 
(katanniy) 
0,69 
2,62,
7 
0,320,36 
Mis (prokatanniy) 
1,1 
4,0 
0,310,34 
Mis (sovuq 
tortilgan) 
1,3 
4,9 
- 
Quyma mis 
0,84 
- 
- 
Fosfortli bronza 
1,15 
4,2 
0,320,35 
Latun (sovuq 
tortilgan) 
0,910,99 
3,53,
7 
0,320,42 
Qo‘rg‘oshin 
0,17 
0,70 
0,42 
Shisha  
0,56 
2,2 
0,25 
Kauchuk  
0,00008 
- 
0,47 
Beton, yuk  
1.10
05
Pa 
 
 
                
1,5.10
05
Pa 
                   
2.10
05
Pa 
0,1460,1
96 
0,1640,2
14 
0,1820,2
32 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
Yog‘och (tolalar 
bo‘ylab) 
0,10,12 
0,055 
- 
Yog‘och 
(tolalarga 
ko‘ndalang) 
0,0050,0
1 
- 
-