Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat
Klapeyron, Kastilyano va Betti formulalari
Download 1.83 Mb. Pdf ko'rish
|
Elastiklik nazariyasi
- Bu sahifa navigatsiya:
- Darslik va o’quv qo’llanmalar
- Adabiyotlar: 1, 2, 3, 4 Tayanch iboralar
- Mavzuni jonlashtirish uchun blist so’rov savollari
- Insert jadvali qoidasi
- Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari
Klapeyron, Kastilyano va Betti formulalari. Chiziqli-elastik jism uchun ) ( ij W elastik potensial deformatsiya tenzorining ij komponentalariga nisbatan ikkinchi tartibli bir jinsli funksiya bo‘lganligidan bir jinsli funksiyalar haqidagi Eyler formulasiga ko‘ra: ij ij д дW W 2 yoki (4.29) Guk formulasiga asosan ij ij W 2 (4.59) Klapeyron formulasiga ega bo‘lamiz. U holda chiziqli - elastik jism uchun (4.32) ga va Klapeyron formulasiga asosan , ) ( W W A ij ij ij ij ij 2 1 ya‘ni, jism chiziqli-elastik bo‘lsa, ) ( ij A - qo‘shimcha ish va W - elastik potensialning kattaliklari teng bo‘ladi: W A Demak. Chiziqli-elastik jism uchun elastik potensialni kuchlanish tenzori ij komponentalarining ikkinchi tartibli funksiyasi sifatida tasvirlash mumkin. Shuning uchun (4.34) formulaga asosan 91 , ij ij ij д дW д дA ya‘ni ij ij д дW (4.60) olingan (4.60) formula Kastilyano formulasi deyiladi. Ta’kidlash lozimki, (4.29) - Guk formulasi va (4.34) formulalar ixtiyoriy elastik jismlar uchun o‘rinli bo‘lgan holda, Kastilyano formulasi faqat Guk qonuniga bo‘ysunuvchi chiziqli-elastik jism uchungina o‘rinlidir. Bitta chiziqli-elastik jismning ikki xil kuchlangan-deformatsiyalangan holatini qaraymiz. Faraz qilaylik, uning birinchi holati ) ( ij va ) ( ij tenzorlari bilan, ikkinchi holat ) '' ( ij va ) '' ( ij tenzorlari bilan aniqlansin. Ikkala holat ham Guk qonunini qanoatlantirishlari kerak, ya’ni k ijk k ijk C C '' '' , ' ' ij ij (4.61) Bu yerda har ikkala holat uchun ham ) ( ijk C - elastik o‘zgarmaslar tenzori, jism bitta bo‘lgani uchun, bir xil bo‘ladi. Endi (4.61) ning 1 tenglamasini '' kj ga 2 tenglamasini ' kj ga ko‘paytiramiz: , ' '' ' '' , '' ' '' ' k ij ijk ij ij ij k ijk ij ij C C (4.62) lekin , '' '' ' '' k ij ijk ij ij C (4.63) ga ega bo‘lamiz. (4.62) tengliklarning chap tomonlari bir xil bo‘lganliklari uchun ij ij ij ij ' '' '' ' (4.64) Betti formulasini olamiz. Betti formulasiga ko‘ra umumlashgan Guk qonuniga bo‘ysunuvchi qattiq jismning biror nuqtasida vujudga keladigan ikki xil kuchlangan-deformatsiyalangan holatida, bir holat kuchlanish tenzori komponentalari bilan ikkinchi holat deformatsiya tenzori komponentalari ko‘paytmalarining yig‘indilari o‘zaro tengdir. Yuqorida ko‘rdikki, agar jism chiziqli-elastik bo‘lsa, deformatsiyaning ) ( ij W - solishtirma potensial energiyasi va ) ( ij A - solishtirma qo‘shimcha ishi bir-birlariga kattalik jihatidan tengdir. Ammo bu holatni baribir ham farqlash foydalidir. Klapeyron formulasidan ij ij W 2 1 bu yerdagi ij lar o‘rniga ularning (4.49) ifodalarini qo‘yamiz ij ij ij ij ij ij ij W 2 2 1 ) 2 ( 2 1 ) ( yoki ii ij ij bo‘lganligidan ) 2 ( 2 1 ) ( 2 ij ij ij W . (4.65) Endi yuqoridagi formulada ij larni emas, balki ij larni o‘zlarining (4.57) ifodalari bilan almashtiramiz va deformatsiyaning solishtirma ishini kuchlanish tenzorining ij komponentalari funksiyasi sifatida ifodalaymiz ij ij ij ij v v E A ) 1 ( 1 2 1 ) ( ij ij ij v v E ) 1 ( 2 1 . Lekin ij ij bo‘lganligidan 2 ) 1 ( 2 1 ) ( v v E A ij ij ij (4.66) ifodaga ega bo‘lamiz. 92 Yana bir marta, chiziqli-elastik jism uchun deformatsiyaning solishtirma potensial energiyasi - (4.65) va solishtirma qo‘shimcha ishi - (4.66) bir-birlariga teng. Nazorat savollari? 1. Elastik simmetriya turlarini ayting?. 2. Bir jinsli izotrop jism deb qanday xuxusiyatli jismlarga aytiladi? 3.Umumlashgan Guk qonuni qandayifodalanadi?. 4. Izotrop jismning texnik o’zgarmaslari qaysilar. 5. Klapeyron, Kastilyano va Betti formulalarini ayting? Darslik va o’quv qo’llanmalar 1. R.I.Xolmurodov, X.X.Xudoynazarov “Elastiklik nazariyasi” I-II qism. Toshkent, fan, 2003 y. 2.Mamatqulov Sh. Elastiklik nazariyasidan ma’ruzalar. T.: Universitet, 1995. 3.Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М., Мир, 1975. 4.Александров А.В. Потапов В.Д «Основы теории упругости и пластичности» М.Выс.шк. 1990г. 400ст. 5.В.И. Самул «Основы теории упругости и пластичности» М. Выс.шк. 1982г. 264 ст. 6.С.П.Рекач. Руководство к решению задач по теории упругости. М. 1977 г. 7.Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц. «Теория упругости.» 1965 93 7-MAVZU « Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari. Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari. Lame tenglamalari. Lame tenglamalarini qanoatlantiruvchi ko’chish vektorini Papkovich-Neyber shaklida tasvirlash. Beltrami-Mitchell tenglamalari.» 7.1. «Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari. Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari. Lame tenglamalari. Lame tenglamalarini qanoatlantiruvchi ko’chish vektorini Papkovich-Neyber shaklida tasvirlash. Beltrami-Mitchell tenglamalari» mavzusining texnologik modeli O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: 50 ta O’quv mashg’ulot shakli Ma’ruza (ma’ruzali dars) Ma’ruza rejasi 1.Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari. 2.Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari. 3. Lame tenglamalari. 4. Lame tenglamalarini qanoatlantiruvchi ko’chish vektorini Papkovich- Neyber shaklida tasvirlash. 5. Beltrami-Mitchell tenglamalari. O’quv mashg’ulotining maqsadi: Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari. Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari. Lame tenglamalari. Lame tenglamalarini qanoatlantiruvchi ko’chish vektorini Papkovich-Neyber shaklida tasvirlash. Beltrami-Mitchell tenglamalari haqida tushuncha berish. Pedagogik vazifalar: O’quv faoliyati natijalari: Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari. Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari bilan tanishtirish Elastiklik nazariyasi masalalarini qoyilishi bilan tanishadi Lame tenglamalari. Lame tenglamalarini qanoatlantiruvchi ko’chish vektorini Papkovich-Neyber shaklida tasvirlash. Elastiklik nazariyasi masalalarini ko’shishlar orqali yechadi. Beltrami-Mitchell tenglamalari haqida tushuncha berish. Elastiklik nazariyasi masalalarini kuchlanishlar orqali yechish ko’nikmasiga ega bo’ladi O’qitish vositalari O’UM, ma’ruza matni, rasmlar, plakatlar, doska O’qitish usullari Axborotli ma’ruza, blis-so’rov, texnika-insert O’qitish shakllari Frontal, kollektiv ish O’qitish sharoiti Texnik vositalar bilan ta’minlangan, guruxlarda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoriya. Monitoring va baholash og’zaki savollar, blis-so’rov 94 7.2. « Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari. Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari. Lame tenglamalari. Lame tenglamalarini qanoatlantiruvchi ko’chish vektorini Papkovich-Neyber shaklida tasvirlash. Beltrami-Mitchell tenglamalari» mavzusining texnologik xaritasi Ish bosqich- lari O’qituvchi faoliyatining mazmuni Tinglovchi faoliyatining mazmuni 1-bosqich. Mavzuga kirish (20 min) 1.22. O’quv mashg’uloti mavzusi, rejasi, pedagogning vazifasi va talabaning o’quv faoliyati natijalarini aytadi. 1.23. Baxolash mezonlari (1 – ilova). 1.24. Mavzuni jonlashtirish uchun «Blis-so’rov» savollarini beradi. Blis-so’rov usulida natijasiga ko’ra tinglovchilarning nimalarda adashishlari, xato qilishlari mumkinligining tashxizini amalga oshiradi (2-ilova). 1.25. Texnika-insert usulida mavzu bo’yicha ma’lum bo’lgan tushunchalarni faollashtiradi. (3- ilova ). Tinglaydilar. Yozib oladilar. Tinglaydilar. Yozib oladilar. Aniqlashtiradilar, savollar beradilar. 2 -bosqich. Asosiy bo’lim (50 min) 2.1. Savol yuzasidan ma’ruza qiladi. 2.2.Ma’ruza rejasining hamma savollar bo’yicha tushuncha beradi. (4 - ilova). 2.2. Ma’ruzada berilgan savollar yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa beradi. (5 - ilova). 2.4.Tayanch iboralarga qaytiladi. 2.5. Talabalar ishtirokida ular yana bir bor takrorlanadi. Tinglaydilar. Javob beradilar Yozadilar. UMKga qaraydilar Har bir tayanch tushuncha va iboralarni muhokama qiladilar. 3-bosqich. Yakunlovchi (10 min) d. Mashg’ulot bo’yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. Mavzu bo’yicha olingan bilimlarni qayerda ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi. 3.2. Mavzu bo’yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar ro’yxatini beradi. 3.3. Keyingi mazvu bo’yicha tayyorlanib kelish uchun savollar beradi. Savollar beradilar. UMKga qaraydilar. UMKga qaraydilar. Uy vazifalarini yozib oladilar 95 Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari. Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari. Lame tenglamalari. Lame tenglamalarini qanoatlantiruvchi ko’chish vektorini Papkovich-Neyber shaklida tasvirlash. Beltrami-Mitchell tenglamalari. Reja: 1.Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari. 2.Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari. 3. Lame tenglamalari. 4. Lame tenglamalarini qanoatlantiruvchi ko’chish vektorini Papkovich-Neyber shaklida tasvirlash. 5. Beltrami-Mitchell tenglamalari Adabiyotlar: 1, 2, 3, 4 Tayanch iboralar: Muvozanat tenglamalari, geometrik, statik, fizik tenglamalar, sirt shartlari, Lame tenglamalari, Lame tenglamalarini qanoatlantiruvchi ko’chish vektorini Papkovich-Neyber shaklida tasvirlash, Beltrami-Mitchell tenglamalari 1-ilova Baholash mezoni: Har bir savol javobiga - 2 ball Har bir qo’shimcha fikrga - 2 ball Har bir javoni to’ldirishiga - 1 ball 2-ilova . 3-ilova Insert texnikasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring. № Asosiy tushunchalar Belgi 1. Chegaraviy shart 2. Koshi munosabatlari 3. Sen Venan tenglamalari 4. Umumlashgan Guk qonuni 5. Muvozanat shartlari 6. Nyutonning ikkinchi qonuni Mavzuni jonlashtirish uchun blist so’rov savollari 1. Og’ma yuzachada kuchlanish qanday beriladi? 2. Koshishlar va deformasiyalar orasida qanday bog’lanish mavjud? 3. Deformasiyalar va kuchlanishlar qanday bog’langan yoki aksincha? 4. Muvozanat tenglamalari deganda nimani tushunasiz? 5. Harakat tenglamalari va muvozanat tenglamalari qanday farqlanadi? 6. Deformasiyalarning uzviylik tenglamalari nimani ifodalaydi? 96 Insert jadvali qoidasi . 4-ilova Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari O‘tgan boblarda elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari chiqarildi. Bu tenglamalar yopiq sistemani tashkil etadi va jismga ta’sir etgan tashqi kuchlarni hisobga olgan holda uning kuchlangan-deformatsiyalangan holatini aniqlashga imkon beradi. Bu tenglamalarni uch turga bo‘ladilar: geometrik, statik (dinamik) va fizik tenglamalar. 1 0 . Geometrik tenglamalar. Elastik jismning deformatsiyalangan holati deformatsiya tenzori ) ( k ij ij x komponentalari, yoki ) ( k i i x u u ko‘chishlar bilan to‘lqin aniqlanadi. Deformatsiya tenzori komponentalari va ko‘chishlar o‘zaro Koshining differensial munosabatlari bilan bog‘langan: ) ( 2 1 , , i j j i ij u u (5.1) hamda Gen-Venanning differensial munosabatlari bilan o‘zaro bog‘langan: . 0 , , , , i jk jk i ik j j ik (5.2) Ma’lumki, bu munosabatlar deformatsiyalarning uz-viylik tenglamasi deb ham yuritiladi. 2 0 . Statik (dinamik) tenglamalar. Elastik jismning kuchlanganlik holati kuch- lanish tenzorining ) ( k ij ij x oltita komponentasi bilan to‘liq aniqlanadi. Ushbu komponentalar uchta muvozanat differensial tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak: 0 , i j ij f . (5.3) Agar jism harakatda bo‘lsa, simmetrik kuchlanish tenzorining olti komponentasi uchta harakat differensial tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak: 2 2 , дt u д f i i j ij . (5.4) Ushbu (5.3) - tenglamalar statik, (5.4) - tenglamalar dinamik tenglamalar deb yuritiladi. 3 0 . Fizik tenglamalar. Kuchlanish tenzorining ij komponentalari deformatsiya tenzorining ij komponentalari bilan Guk qonuni vositasida bog‘langan ij ij ij 2 (5.5) yoki i u ko‘chish komponentalari bilan ) ( , , i j j i ij ij u u (5.6) ko‘rinishda bog‘langan. Bu yerda u div u i i ii , . Ba’zi hollarda Guk qonunini (5.5) ga teskari shaklda, ya’ni ij larga nisbatan yechilgan ko‘rinishda ishlatishga to‘g‘ri kelishi mumkin: ij ij ij v v E ) 1 ( 1 , (5.7) V- avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. + - yangi ma’lumot -- - olgan bilimiga qarama-qarshi ? – tushunarsiz (aniqlanishi zarur bo’lgan ma’lumotlar) ) 97 bu yerda: . 33 22 11 ii Yuqorida sanab o‘tilgan (5.1) (5.3), (5.5), (5.7) formulalar elastiklik nazariyasi statik masalalarining asosiy tenglamalari deb yuritiladi. Elastiklik nazariyasi dinamik masalalarining asosiy tenglamalari deb (5.1) (5.2), (5.4) (5.5) va (5.7) tenglamalarga aytiladi. Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari Chiziqli-elastik jismning holatini uning V hajmining ichki nuqtalarida aniqlovchi asosiy tenglamalarga uning S sirtidagi shartlarni qo‘shish kerak. Bu shartlar chegaraviy shartlar deyiladi va ular tashqi berilgan i F sirt kuchlari bilan yoki jism sirti nuqtalarining berilgan S i u ko‘chishlari bilan aniqlanadi. Chegaraviy shartlarning berilishiga qarab elastiklik nazariyasining uch asosiy masalalarini bir-biridan farqlaydilar. 1 0 . Birinchi tur asosiy masala. Birinchi tur asosiy masalada i f massaviy va i F sirt kuchlari jismning butun sirtida berilganda jism egallagan V hajmning ichki nuqtalarida kuchlanish tenzori komponentalari ) ( k ij x larni hamda V - hajmning ichki nuqtalari va jism S sirti nuqtalarida ko‘chish vektorining ) ( k i x u komponentalarini aniqlash talab etiladi. Demak, bu holda chegaraviy shartlar: i s j ij F n (5.8) ko‘rinishda bo‘ladi. Bu yerda i F - sirt kuchi F ning komponentalari; S n j sirtning qaralayotgan nuqtasida tashqi normali bo‘yicha yo‘nalgan birlik n vektori komponentalari. Bu holda izlanayotgan to‘qqiz noma’lumlar (oltita ij kuchlanishlar va uchta i u ko‘chishlar) (5.3) yoki (5.4), (5.5) tenglamalarni, hamda (5.8) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishlari kerak. Download 1.83 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling