Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat
Deformatsiyalanish termodinamikasi
Download 1.83 Mb. Pdf ko'rish
|
Elastiklik nazariyasi
- Bu sahifa navigatsiya:
- Elastik potensial.
Deformatsiyalanish termodinamikasi. Jismning deformatsiyalanishi, umuman olganda, termodinamik jarayondan iborat. Shuning uchun hatto kichik elastik deformatsiyalanish holatida ham jismning kuchlangan deformasiyalangan holatini termodinamik jihatdan o‘rgangan ma’qul. Agar jism unga qo‘yilgan kuchlar ta‘siri ostida harakatda bo‘lsa u K kinetik energiyaga ega bo‘ladi. Kinetik energiyadan tashqari, jismning ichki U energiyasi ham mavjudki, u jismning deformatsiyalangan va quzugan yoki sovigan holatlariga bog‘liq bo‘ladi. Ma’lumki, jismning to‘liq energiyasi uning kinetik va ichki (potensial) energiyalari yig‘indisiga teng bo‘ladi. Agar jism muvozanatda bo‘lsa, uning to‘liq energiyasi faqat ichki energiyadan iborat bo‘ladi. Faraz qilaylik, i F sirt va i f massaviy kuchlar ta‘siri ostidagi jismning kinetik energiyasi K va ichki energiya U bo‘lsin. Jism vaqtning t elementi davomida boshqa holatga o‘tsa, uning to‘liq energiyasi ) ( U K ga o‘zgaradi, tashqi kuchlar esa shu vaqt davomida A ga teng ish bajaradi. U holda termodinamikaning birinchi qonuniga asosan: , Q A U K (4.12) 76 bu yerda Q - jismga berilgan issiqlik miqdori. Jism bir holatdan boshqa holatga o‘tganda uning dV hajmli elementining ko‘chishlari i U bo‘lsa, tezliklari i i u дt дu ga teng bo‘ladi. U holda uning kinetik energiyasi V i i dV дt дu дt дu K 2 1 ga teng bo‘ladi. Bu yerda V hajm, jismning deformatsiyalanmagan holatidagi hajmi. Kinetik energiyaning st vaqt davomidagi o‘zgarishi V i i dV t дt дu дt u д t дt дK K 2 2 lekin t дt дu u i i bo‘lganligidan V i i dV u дt u д K 2 2 (4.13) tenglikka ega bo‘lamiz. Endi t vaqt davomida bajarilgan A ishni hisoblaymiz(tashqi sirt va massaviy kuchlar bajargan ish) V S i i i i dS u F dV u f A . (4.14) Lekin Ostrogradskiy formulasiga asosan: S S V i ij j i ij i i dV j u dS n u dS u F ), ( u holda V V j i ij i i j ij dV u V u f A , , ) ( (4.15) Nihoyat, (4.13) va (4.15) dan V V j i ij i i i j ij dV u dV u дt u д f K A , 2 2 , ga ega bo‘lamiz. Bu yerda (4.11) ni hamda ij ij j i U , - ekanligini hisobga olsak, V ij ij ij dV K A ) ( tenglikni olamiz. Bu yerda ) ( ij - simmetrik va ) ( ij - antisimmetrik tenzorlar bo‘lgani uchun 0 ij ij va demak, V ij ij dV K A (4.15) Ushbu tenglikdagi integral ishning deformasiyaga sarflangan orttirmasini yoki boshqacha aytganda, deformatsiya ishi orttirmasini tashkil etadi. Agar tashqi kuchlar ta’siridagi jism muvozanatda bo‘lsa, 0 K va bu holda tashqi kuchlar ishining orttirmasi ) ( A , deformatsiya ishi orttirmasiga teng bo‘ladi, ya’ni V V ij ij WdV dV A 1 (4.16) Demak, ij ij w 1 (4.17) 77 deformatsiya solishtirma ishining orttirmasi, ya’ni jism ixtiyoriy nuqtasi atrofidafi birlik hajmdagi deformatsiya ishining orttirmasidir. Endi (4.15) ga qo‘ysak, V ij ij dV V Q (4.18) Bu yerdan jism ichki energiyasining orttirmasi deformatsiya ishi orttirmasi bilan jismga berilgan issiqlik miqdori yig‘ndisiga teng. Jism ixtiyoriy nuqtasi atrofidagi birlik hajm uchun (4.18) tenglik Q 1 ij ij dU (4.19) ko‘rinishda ega bo‘ladi. Bu yerda dU - solishtirma ichki energiya orttirmasi; ij ij - deformasiya solishtirma ishining orttirmasi; Q 1 - issiqlik energiyasining, jism boshlang‘ich birlik hajmiga bo‘lingan orttirmasi. Termodinamikaning ikkinchi qonuniga asosan qaytar jarayonlar uchun T / Q 1 - nisbat, bu yerda T - absolut temperatura, sistema holat funksiyasining to‘liq differensiali bo‘ladi va holat funksiyasi ma’lumki, entropiya deb ataladi va S orqali belgilanadi . 1 T Q dS (4.20) U holda (4.19) ni quyidagicha yozish mumkin: Tds dU ij ij . (4.21) Ana shu (4.21) tenglik deformatsiyalanuvchi jism uchun asosiy termodinamik munosabat hisoblanadi. Bu yerdan ko‘rinadiki, ichki energiya deformatsiya tenzorining ij komponentalarining va s - entropiyaning funksiyasidir, ya’ni ) , ( s U U ij u holda . ds дs дU d д дU dV ij ij (4.22) (4.21) va (4.22) ni taqqoslab дs дU T д дU s ij ij , (4.23) Ichki energiya funksiyasi U o‘rniga Gelmgols erkin energiyasi deb ataluvchi funksiyani kiritamiz: sT U F bundan Tds sdT DU dF bo‘lganligidan (4.21) dan sdT d dF ij ij (4.24) ga ega bo‘lamiz. Xuddi ) , ( s U ij - ichki energiyaga o‘xshash ) , ( T F ij - erkin energiya ham termodinamik potensialdir. U holda . dT дT дF d д дF dF ij T ij va (4.24) dan дT дF S д дF T ij ij ; (4.25) 78 Shunday qilib, ij kuchlanish tenzori komponentalarining ij deformatsiya tenzori komponentalariga bog‘liq holda topish uchun ) , ( s U ij - ichki energiyani entropiyaning o‘zgarmas qiymatida deformasiya tenzori komponentalari bo‘yicha, differensiallash yoki const T bo‘lganda (4.25) formula bo‘yicha ) ( T F ij - erkin energiyani differensiallash zarur. Demak, F - erkin energiya va U - ichki energiyalar ) ( ij kuchlanish tenzori uchun potensial bo‘ladi. Elastik potensial. Qattiq jismning deformatsiyalanish jarayoni izotermik yoki adiabatik bo‘lishi mumkin. Agar jism yuklanishni asta-sekin oshirib borish yo‘li bilan nisbatan sekin deformatsiyalansa (statik yuklanish) va bu jarayon davomida jism va uni o‘rab turuvchi muhitda temperatura muvozanati saqlanib qolsa (ya’ni temperatura o‘zgarmay qolsa), deformatsiyalanish jarayoni izotermik deyiladi. Agar deformatsiyalanish jarayoni issiqlikni yutish yoki yo‘qotishlarsiz (deformatsiyalanishda jism isiydi) sodir bo‘lsa, masalan jismning juda tez kichik tebranishlaridagi kabi, deformatsiyalanish jarayoni adiabatik deyiladi. Agar jismning ixtiyoriy nuqtasidagi kuchlanganlik holati vaqtning istalgan payti uchun faqat shu nuqtadagi deformatsiyagagina bog‘liq bo‘lsa, bunday jism ideal elastik jism deyiladi. Jism ideal elastik bo‘lib, adiabatik deformatsiyalansa, ya’ni 0 Tds Q yoki const s bo‘lsa, kuchlanish tenzorining potensiali U ichki energiyadan iborat bo‘ladi: const s ij ij д дU . (4.26) Bunda (4.21) tenglik ij ij d dU (4.27) ko‘rinishni oladi. Boshqacha aytganda, bu holda deformatsiya solishtirma ishining orttirmasi to‘liq differensial bo‘ladi . ij ij d dW (4.28) Bu yerdan ij ij д дW (4.29) kelib chiqadi. Ushbu ) ( ij w funksiyasi elastik potensial deyiladi va deformatsiyaning solishtirma ishidan yoki deformatsiyaning solishtirma potensial energiyasidan iboratdir. Olingan (4.29) tengliklar kuchlanish tenzorining o‘zaro bo‘g‘lanmagan oltita komponentasini deformatsiya tenzorining ij komponentalari orqali bir qiymatli aniqlaydi va elastiklik qonunining umumiy ifodasidan iboratdir. Ushbu (4.29) tenglik Grin formulasi deb ham yuritiladi. Agar jismning deformatsiyalanishi izotermik ravishda sodir bo‘lsa, ya’ni deformatsiyalanish jarayonida T temperatura o‘zgarmasdan qolsa va jismning tabiiy holatidagi 0 T temperaturaga teng bo‘lsa, bu holda kuchlanish tenzorining potensiali F - erkin energiyadan iborat bo‘ladi. . const T ij ij d dF (4.30) va (4.24) tenglik 0 T T bo‘lganda ij ij d dF (4.31) ko‘rinishni oladi, ya’ni izotermik deformatsiyalanish jarayonida ( dF - to‘liq differensial bo‘lganligidan) deformatsiya solishtirma ishining orttirmasi ham to‘liq differensial bo‘ladi, va demak yana (4.29) Grin formulasi o‘rinli bo‘ladi. 79 Shu narsani alohida ta‘kidlash lozimki izotermik deformatsiyalanish jarayonida ) ( ij W - elastik potensial s T U F 0 erkin energiya bilan aniqlanadi, jismning adiabatik deformatsiyalanish jarayonida esa elastik potensial U ichki energiya bilan aniqlanadi. Shuning uchun izotermik va adiabatik jarayonlar uchun ij kuchlanishlar va ij deformatsiyalar asosidagi Grin formulasi bilan aniqlanuvchi bog‘lanishlar aynan bir xil bo‘lmaydi, ya’ni jismning ushbu munosabatlarga kiruvchi elastiklik o‘zgarmaslari har xil bo‘ladi. Lekin bu farqni hisobga olmasa ham bo‘ladi, chunki jism qattiq jism bo‘lgan (gazsimon jismlardan farqli ravishda) s T 0 kattalik U kattalikdan ancha kichik bo‘ladi. Shunday qilib, ij va ij lar asosidagi (4.29) munosabatlar, uchta (4.6) muvozanat differensial tenglamalar hamda Koshining oltita differensial bog‘lanishlari (jami 15 ta tenglama 6 ta ta u ta ta i ij ij 15 3 6 noma‘lumga nisbatan) elastiklik nazariyasi tenglamalarining yopiq sistemasini tashkil etadi. Deformatsiyaning qo‘shimcha ishi. Endi (4.29) ni ij larga nisbatan yechish masalasini qo‘yish mumkin. Bu ish quyidagi funksiyani kiritish bilan W A ij ij (4.32) nisbatan oson yechiladi. Ushbu funksiya solishtirma qo‘shimcha ish deb ataladi. Solishtirma qo‘shimcha ishning (4.32) ni differensiallab, dW d d dA ij ij ij ij bu yerda (4.28) ni hisobga olib, ij ij d dA (4.33) tenglikka ega bo‘lamiz. Olingan ifoda to‘liq differensialni tashkil etadi, chunki 1 ) ( dA d d d dA dW ij ij ij ij ij ij ij bu yerda ij ij A 1 - kuchlanishning ij komponentalari o‘zlarining qaralayotgan muvozanat holatidagi pirovard (oxirgi) o‘zgarmas qiymatlarini deformatsiyalanishning butun jarayoni davomida saqlab qoladi deb faraz qilib hisoblangan solishtirma ish. U holda (4.33) tenglikka asosan ij ij д дA (4.34) munosabat o‘rinli bo‘ladi. Haqiqatan ham (4.32) tenglikni ki lar bo‘yicha ) ( ij A murakkab funksiya kabi differensiallaymiz, . k ij ij k ij ij k k д д д дW д д д дA Lekin (4.29) ga asosan , k ij д дW bo‘lganligi uchun oxirgi ikkita qo‘shuluvchilar o‘zaro yeyishadilar va k k д дA , ya’ni (4.34) tenglikka ega bo‘lamiz. Shunday qilib, ) ( ij A qo‘shimcha ish deformatsiya tenzori ) ( ij - uchun potensial bo‘ladi. Umumlashgan Guk qonuni. 80 Tajribalar shuni ko‘rsatadika, yuklanishning ma’lum chegaralarida, qattiq jismlarning ko‘pchiligi uchun deformatsiyalar yuklarga to‘g‘ri proporsionaldir, ya’ni yuk qancha oshsa, deformatsiya ham shuncha oshadi. Ushbu qonuniyat Guk qonuni sifatida ma’lum. Guk qonuniga ko‘ra kuchlanish tenzorining ij komponentalari jismning har bir nuqtasida ij deformatsiya tenzori komponentalarining bir jismli va chiziqli funksiyalaridan iboratdir. Ikkinchi tomondan Grin formulasiga ko‘ra ((4.29) - formula) ij kuchlanishlar ) ( ij W - elastik potensialdan deformatsiya tenzorining mos ij - komponentalari bo‘yicha olingan xususiy hosilalardan iborat. Shu ikkala holatdan ko‘rinadiki, ) ( ij W deformatsiya tenzori komponentalarining ikkinchi tartibli funksiyasidan iboratdir. Demak, bu funksiyaning umumiy ko‘rinishini quyidagicha tasvirlash mumkin: , 2 1 ) ( k ij ijk ij ij ij t c c W (4.35) bu yerda ij c va ijk c lar - ikkinchi va to‘rtinchi rang tenzorlar. Elastiklik chiziqli nazariyasining qabul qilingan chegaralanishlari doirasida ) ( ij deformatsiya tenzorining simmetrik tenzor ekanligi bizga ma’lum. U holda i va j hamda k va indekslarning o‘rinlari almashtirilganda, ij hamda k ij lar o‘zgarmasliklari kerak. Bundan, ij c va ijk c tenzorlari quyidagi simmetriklik shartlarini qanoatlantirishlari zarurligi kelib chiqadi: ; ; ; ; ; ; k ji jik k ik jik k ji ijk k ij ijk jik ijk ji ij c c c c c c c c c c c c Endi (4.35) ni (4.29) Grin formulasiga qo‘yib hosila olsak, . k ijk ij ij c c (4.36) Jismning boshlang‘ch holatida (tashqi kuchlar qo‘yilmagan holatda) hamma i va j lar uchun 0 ij va 0 ij U holda (4.35) dan 0 ) 0 ( w va (4.36) dan 0 ij c tengliklarga ega bo‘lamiz. Bularni hisobga olsak, (4.35) quyidagicha ko‘rinishni oladi: , 2 1 ) ( k ij ijk ij c w (4.37) (4.36) munosabatlar esa k ijk ij c (4.38) Elastik potensial ) ( ij w ning (4.37) ifodasi va (4.38) tenglik chiziqli elastik anizotrop jism uchun umumiy bo‘lgan munosabatlarni tashkil etadi. Yuqarida kiritilgan ) ( ijk c to‘rtinchi rang tenzor elastik o‘zgarmaslar tenzori deyiladi. Agar jism bir jinsli bo‘lsa, bu tenzorning komponentalari jism nuqtasining koordinatalariga bog‘liq bo‘lmaydi va to‘rtinchi rang tenzor sifatida, umumiy holda, 3 4 =81 ta komponentaga ega. Lekin o‘zaro bog‘lanmagan, mustaqil koordinatalar soni yuqoridagi simmetriya shartlarini hisobga olganda kamayadi va 36 taga teng bo‘ladi. Bundan tashqari, ij k k ij д д w д д д w д 2 2 bo‘lganligidan yana 15 ta ij k ijk c c munosabatlar kelib chiqadi va ular elastik o‘zgarmaslar sonini 21 taga tushirishga imkon beradi. 81 Shunday qilib, ) ( ijk c - elastik o‘zgarmaslar tenzori chiziqli elastik jismning eng umumiy anizotrop holida 21 ta mustaqil komponentaga (elastik o‘zgarmaslarga) ega bo‘ladi. Ushbu komponentalarni quyidagi sxema ko‘rinishida tasvirlash qulay: 1-S X E M A . 1212 3112 3131 2312 2331 2323 3312 3331 3323 3333 2212 2231 2223 2233 2222 1112 1131 1123 1133 1122 1111 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C (4.39) Anizotrop jismning umumiy holida ijk c elastik o‘zgarmaslar koordinat o‘zlarining oriyentatsiyasiga (joylashtirilganligiga) bog‘liq bo‘ladi. Ammo, jismning har bir nuqtasida jismning elastik xususiyatlariga nisbatan simmetrik bo‘lgan yo‘nalishlar mavjudligi aniqlanishi mumkin. Boshqacha aytganda, anizotrop jism strukturasi biror elastik simmetriyaga ega bo‘lishi mumkin. Shunday hollarda koordinat o‘qlarining shunday oriyentatsiyasini topish mumkinki, yoki koordinat o‘qlarini shunday yo‘naltirish mumkinki, bunda ba’zi elastik o‘zgarmaslar nolga teng bo‘ladi yoki boshqa o‘zgarmaslarga chiziqli bog‘liq bo‘ladi. Natijada elastik o‘zgarmaslar sonini yanada kamaytitish imkoniyati paydo bo‘ladi. Ta’kidlash lozimki, umumlashgan Guk qonunining matematik ifodasi (4.38) dan iborat va u har qanday anizotrop elastik jism uchun o‘rinlidir. Download 1.83 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling