Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

4. Prizmatik brusning o‘qi bo‘ylab cho‘zilishi. 
 
Uzunligi ixtiyoriy shaklli ko‘ndalang kesimining eng katta chiziqli 
o‘lchamidan ancha katta bo‘lgan prizmatik brusni qaraymiz . Brusning uzunligini 

 bilan belgilaymiz va prizmatik brus ko‘ndalang kesimining shakli ixtiyoriy 
ekanligini yana bir marta ta’kidlaymiz.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
         x
2 
  

                   M(x
k
)         

 
           o      
                                                x
3
 
                                                     
                      
 
                     
 O 

 

 
133 
Koordinatalar boshini brus chap uchining og‘irlik markazi uctiga qo‘yamiz va 
3
x
 
o‘qini brus o‘qi bo‘ylab yo‘naltiramiz. Brusning yon sirtlariga sirt kuchlari ta’sir 
etmaydi. Brusning uchlariga tekis taqsimlangan  
0
2
1
3



)
(
F
F
F

 sirt kuchlari qo‘yilgan bo‘lib, ular brusni 
,
s
p


 bu yerda 
s
- 
brus ko‘ndalang kesimining  yuzasi, teng ta’sir etuvchi  kuch bilan  yechamiz. Buning 
uchun  brusning  ixtiyoriy     
)
(
k
x
M
  nuqtasida  kuchlanishlar  uchun  quyidagi 
qiymatlarni qabul qilamiz: 
,
;
3
33
12
31
23
22
11
0
bx
a 












 
bu yerda 
b
a,
- aniqlanishi kerak bo‘lgan o‘zgarmaslardir. 
Kuchlanish tenzori 
ij

 komponentalarining qabul qilingan qiymatlari 
Beltrami tenglamalarining hammasini qanoatlantiradi va muvozanat 
tenglamalarining birinchi ikkita tenglamasini qanoatlantiradi. uchunchi tenglama 
esa 
,
0
3
33




b
x

 ya’ni 
a

33

 
bo‘lganda qanoatlantiriladi.Elastiklik nazariyasining birinchi tur asosiy 
masalasining 
i
S
j
ij
F
n



 
chegaraviy shartlari qanday bajarilishini tekshiramiz. Brusning yon sirti ixtiyoriy 
nuqtasi uchun 
,
0
3

n
 va demak, brusning yon sirtida chegaraviy shartlar 
a
 ning 
ixtiyoriy qiymati uchun bajariladi, ya’ni 
0

yon
S
j
ij
n

 

 
134 
tenglik bajariladi. Brus chap va o‘ng uchlari nuqtalari uchun 
0
0
2
1


n
n
;
 va 
.
1
3


n
 Shuning uchun brus uchlaridagi chegaraviy shartlar: 



























s
p
F
n
n
n
F
n
n
n
F
n
n
n
3
3
33
2
32
1
31
2
3
23
2
22
1
21
1
3
13
2
12
1
11
)
0
(
0
)
0
(
0











 
ko‘rinishni oladilar. Bu yerdan ko‘rinadiki, birinchi ikkita shart aynan 
qanoatlantiriladi. Uchinchisidan esa   
s
p
a





33
 
ekanligini topamiz. Shunday qilib, 
s
p
a 
 va 
.
0

b
 
Guk qonunining ifodasidan 
.
0
,
1
,
31
23
12
33
22
11















E
E
v
 
Faraz qilaylik, jismning boshi bilan ustma-ust tushuv- chi nuqtasining atrofi bikr 
ko‘chishga ega bo‘lmasin, ya’ni 
0
3
2
1



x
x
x
 bo‘lganda 
0
0

i
u
 va 
0
0
,

j
i
u
. U 
holda Koshi formulalariga asosan 
.
;
;
33
3
,
3
12
2
,
2
11
1
,
1






E
v
u
E
v
u
E
v
u








 
va  formulaga asosan 
.
0
2
,
3
1
,
3
3
,
3
1
,
2
3
,
1
2
,
1






u
u
u
u
u
u
 

 
135 
Endi 
j
i
u
,
 larning topilgan qiymatlarinidan 
)
(
k
x
M
 nuqtaning ko‘chishlarini topamiz 
;
;
;
3
3
2
2
1
1
x
E
v
u
x
E
v
u
x
E
v
u








 
Bu yerdan (oxirgi formuladan) ko‘rinadiki,  ko‘ndalang kesimning 
3
x
 
koordinatalari bir xil bo‘lgan nuqtalarining ko‘chishlari bir xil bo‘ladi, boshqacha 
aytganda brusning ko‘ndalang kesimlari teksligicha qoladilar. Bu xulosa 
materiallar qarshilida ushbu masala qaralayotganda boshlang‘ich (tekis kesimlar 
qipotezasi) qabul qilingan gipotesadir. Xuddi shu oxirgi formuladan 


3
x
 
bo‘lganda butun brusning qanchaga cho‘zilishini topish qiyin emas: 
EF
p
E
u









)
(
3
 
Bu esa materiallar qarshiligi kursida ushbu masala yechimidan iborat edi. Shunday 
qilib, elastiklik nazariyasi asosiy tenglamalarini yechishdan olingan natijalar 
qaralayotgan masalaning aniq yechimidan iborat bo‘lib, materiallar qarshiligi 
kursidan ma’lum bo‘lgan yechim bilan bir xil bo‘ladi. 
Shu bilan birga bu yechimlar aniq bo‘ladi, agar brusni cho‘zuvchi kuchlar uning 
uchlari bo‘yicha tekis taqsimlangan bo‘lsa. Lekin Sen-Venan prinsipiga asosan bu 
yechimni cho‘zuvchi 
p
 kuchlar boshqacha qo‘yilganda (masalan, to‘plangan kuch 
holida) ham aniq deb hisoblash mumkin. 
Adabiyotlar: 
1. R.I.Xolmurodov, X.X.Xudoynazarov “Elastiklik nazariyasi” I-II qism. Toshkent, fan, 
    2003 y. 
24. Mamatqulov Sh. Elastiklik nazariyasidan ma’ruzalar. T.: Universitet, 1995. 
25. Timoshenko S.P., Gudyer Dj. Teoriya uprugosti. M., Mir, 1975. 

 
136 
26. Aleksandrov  A.V.  Potapov  V.D  «Osnovы  teorii  uprugosti  i  plastichnosti» 
M.Vыs.shk. 1990g.  400st. 
27. V.I. Samul  «Osnovы teorii  uprugosti  i plastichnosti» M. Vыs.shk. 1982g. 264 
st. 
28. S.P.Rekach. Rukovodstvo k resheniyu zadach po teorii uprugosti. M. 1977 g. 
 
 
4- AMALIYOT 
DARSI 
 
Elastiklik nazariyasi sodda masalalari 
 
 
Elastiklik nazariyasi sodda masalalarimavzusining texnologik modeli 
Vaqt: 2 soat   
Talabalar soni: 15-30 ta 
O’quv mashg’ulot shakli  
Amaliy mashg’ulot 
O’quv mashg’ulot rejasi 
1 Prizmatik brusning o‘z og‘irligi ta’sirida 
cho‘zilishi masalasi. 
2. Prizmatik brusning o‘z og‘irligi va o‘qi 
bo‘ylab qo‘yilgan kuch ta’sirida cho‘zilishi 
masalasi. 
3.O‘zgarmas kesimli to‘g‘ri  brusning sof 
egilishi masalasi 
O’quv mashg’ulot maqsadi: . Prizmatik brusning o‘z og‘irligi ta’sirida cho‘zilishi, 
prizmatik brusning o‘z og‘irligi va o‘qi bo‘ylab qo‘yilgan kuch ta’sirida 
cho‘zilishi, o‘zgarmas kesimli to‘g‘ri  brusning sof egilishiga doir masalalalar 
bilan tanishish  
Pedagogik vazifalar: 
-  Prizmatik 
brusning 
o‘z 
og‘irligi  ta’sirida  cho‘zilishi 
masalasini yechish 
-   prizmatik 
brusning 
o‘z 
og‘irligi  va  o‘qi  bo‘ylab 
qo‘yilgan 
kuch 
ta’sirida 
cho‘zilishi 
-   o‘zgarmas  kesimli  to‘g‘ri  
O’quv faoliyat natijalari: 
-  Prizmatik  brusning  o‘z  og‘irligi  ta’sirida 
cho‘zilishi  masalasini  yechish  o’rganadi, 
xulasalar chiqaradi 
-   prizmatik  brusning  o‘z  og‘irligi  va  o‘qi 
bo‘ylab 
qo‘yilgan 
kuch 
ta’sirida 
cho‘zilishiga doir masalalar bilan tanishadi  
 o‘zgarmas  kesimli  to‘g‘ri    brusning  sof 
egilishiga  doir  masalalalasini  yechish  haqida 

 
137 
brusning  sof  egilishiga  doir 
masalalalasini yechish 
ma’lumotga 
ega 
bo’ladi 
yechimlardan 
xulosalar chiqaradi 
Ta’lim  usullari 
Muammoli usul, suhbat, munozara, aqliy 
hujum 
Ta’limni tashkil etish  shakli 
Ommaviy, jamoaviy, guruhli, individual. 
Ta’lim vositalari 
Doska, masalalar to’plami, ma’ruza matni, 
tarqatma materiallar,  o’quv materiallar.   
Ta’lim berish sharoiti 
Guruhlarda ishlashga mo’ljallangan xona. 
Monitoring va baholash 
Yozma nazorat: masalalar yechish, test  
Og’zaki nazorat: tezkor-so’rov  
 
Elastiklik nazariyasi sodda masalalariga oid namunaviy masalalar yechish  
mavzusining texnologik xaritasi 
Ish 
bosqichlar
i va vaqti 
Faoliyat mazmuni 
 
ta’lim beruvchi 
ta’lim oluvchilar 
 
1-bosqich. 
O’quv 
mashg’ulo
tiga kirish 
(15 daq.) 
1.1.Mavzuning nomi, maqsad va kutilayotgan 
natijalarni yetkazadi. 
1.2.Talabalar bilimini suhbat shaklida  
faollashtiradi (№2 ilova). Muammolarni yechish 
uchun talabalarning egallagan bilimlarini 
yetarliligini aniqlaydi 
 
Tinglaydilar, 
yozib oladilar 
 
2-bosqich. 
Asosiy 
(55 daq.)  
2.1.  Topshiriqni  o’qib  beradi  va  berilganlarni 
doskaga yozadi (№ 4ilova). 
2.2.  Muammoni  yechish  yo’llarini  izlashni  tashkil 
etadi:  birinchi  kichik  muammoni  ifodalaydi. 
Muammolarni 
yechish 
yo’llarini 
izlashni 
tashkillashtiradi. 
2.3. 
Muammoni 
yechish 
vaqtida 
to’g’ri 
yechimlarga  e’tibor  beradi,  xatolarni  ko’rsatadi. 
Talabalar  bilan  birgalikda  javoblar  to’liqligini 
baholaydi, savollarga javob beradi. 
Savollarga javob 
beradi. 
Muammoni 
yechish bo’yicha 
o’z fikrlari-ni 
beradi 
Munozara qila-
dilar, tahlil 
qiladilar, xulo-sa 
chiqaradilar. 
3 - bosqich. 
Yakuniy 
(10 daq.) 
3.1.Mavzu bo’yicha yakun qiladi, qilingan ishlarni 
kelgusida kasbiy faoliyatlarida ahamiyatga ega 
ekanligi muhimligiga talabalar e’tiborini qaratadi. 
Tinglaydilar. 
Topshiriqni 
yozadilar 

 
138 
3.2. Uyda bajarish uchun topshiriq (№ ilova) beradi  
Elastiklik nazariyasi sodda masalalari 
RYEJA: 
1. Prizmatik brusning o‘z og‘irligi ta’sirida cho‘zilishi masalasi. 
2. Prizmatik brusning o‘z og‘irligi va o‘qi bo‘ylab qo‘yilgan kuch ta’sirida 
cho‘zilishi masalasi. 
3.O‘zgarmas kesimli to‘g‘ri  brusning sof egilishi masalasi 
          Adabiyotlar: 1-5. 
 
Tayanch iboralar: 
Prizmatuk brus, o’q boiylab cho’silish, o’z og’irligi ta’sirida cho’zilish, sof egilish 
Baholash mezoni: 
  Har bir savol javobiga                - 2 ball 
  Har bir qo’shimcha fikrga          - 2 ball 
  Har bir javobni to’ldirishiga       - 1 ball 
2-ilova 
 
 
 
                      
                . 
                               
      
 
 
3-ilova 
 Insert texnikasi bo’yicha jadvalni to’ldiring. 
 
№ 
Asosiy tushunchalar 
Belgi 
1. 
 Prizmatik brus 
 
2. 
Sirt shartlari  
 
3. 
Beltram Mitchel tenglamalari 
 
4. 
Sen Venan tenglamalari 
 
5. 
Koshining differensial boglanishi  
 
6. 
Buralish 
 
 Insert jadvali qoidasi 
 
 
 
 
Mavzuni jonlashtirish uchun blits so’rov savollari 
 
1.  Chozilish haqidagi masalalar bilan tanishmisiz? 
2.  Egilish deganda nimani tushunasiz? 
3.  Prizmatik brus  nima? 
4.  Buralish nima? 
V- avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. 
+ - yangi ma’lumot 
? – tushunarsiz (aniqlanishi zarur bo’lgan ma’lumotlar) 

 
139 
4-ilova 
 
Matn 
Prizmatik brusning o‘z og‘irligi ta’sirida cho‘zilishi. 
 
Vertikal joylashgan prizmatik brusning uzunligi 

 va yuqori uchi bilan 
mahkamlangan va o‘z og‘irligi ta’siri ostida bo‘lsin. Koordinatalar boshini 
brusning pastki uchi og‘irlik markazida joylashtiramiz.  Demak, brusga faqat 
g
f
f
f




3
2
1
,
0
 
massaviy kuchlar hamda mahkamlangan balandki uchida yig‘indisi brusning  
s
g

 og‘irligiga teng bo‘lgan reaktiv sirt kuchlari ta’sir etadi, bu yerda 
s
- brus 
ko‘ndalang kesimining yuzasi. 
Muvozanat differensial  tenglamalari hamda Beltrami-Mitchell uzviylik shartlari 
(bu holda 
0
3

f
 bo‘lganligi uchun  Beltrami tenglamalarini ishlatib bo‘lmaydi) 
shartlarini 
ij

 kuchlanishlarning, brusning ixtiyoriy 
)
(
k
x
M
 nuqtasi uchun, quyidagi      
qiymatlari qanoatlantiradi: 
.
,
0
3
33
31
23
12
22
11
gx














 
 
 
  
Brusning yon sirtlari va pastki uchida 
),
1
,
0
(
3
3



n
x
 sirt 
kuchlari bo‘lmaganidan,  chegaraviy shartlarning 
qanoatlantirishini ko‘rish qiyin emas. Brusning yuqori uchida 
)
1
,
(
3
3



n
x

 
M
0 
M(x
k
) 
 O 
 x
2
 
x
1 

 
 t 
x
2 
                    x
3 
 
 
              
   

    
  
                                 x
3
=c 
                                   x
1 
 
 
                                     x
1
   
 
 
             

 
140 
,
33
3
3
33











g
s
s
g
yerda
bu
F
n




 
 
 
 
 
chegaraviy shart 
3
F
g 


 
ko‘rinishni oladi, ya’ni  yechim masalaning aniq yechimidan iborat bo‘ladi, agar 
brusning yuqoridagi mahkamlangan uchidagi brusning og‘irligini muvozanatlovchi 
sirt kuchlari tekis taqsimlangan bo‘lsa. Ammo olingan natija, Sen-Venan prinsipiga 
asosan, 
3
x
 o‘qi bo‘ylab yo‘nalgan teng ta’sir etuvchisi 
s
g

 bo‘lgan reaktiv sirt 
kuchlari taqsimoti boshqacha (tekismas) bo‘lgan holda ham aniq yechimga juda 
yaqin bo‘lgan natijadan iboratdir. 
Guk qonunining  ifodasiga ko‘ra deformatsia-larni   
.
0
;
1
;
31
23
12
3
33
3
22
11















gx
E
gx
E
v
 
topamiz. 
Brusning yuqori uchi shunday mahkamlangan bo‘lsinki, bunda uchning og‘irlik 
markazi bilan ustma-ust tushuvchi 
)
,
0
,
0
(
0

M
 nuqtasi atrofining ko‘chishlari va 

 
141 
burilishi nolga teng, ya’ni bu nuqta atrofi ko‘chmaydi va burilmaydi deb 
hisoblaymiz. U holda 




3
2
1
,
0
x
x
x
 bo‘lganda 
0

i
u
 va 
.
0
,

j
i
u
 
Koshining differensial munosabatlari va formulalarga asosan integrallash 
boshlang‘ich nuqtasini 
)
,
0
,
0
(
0

M
 nuqtada deb olib, 
              
;
0
;
;
0
;
;
1
,
2
1
3
,
1
2
,
1
3
3
,
3
3
2
,
2
1
,
1








u
gx
E
v
u
u
x
E
g
u
gx
E
v
u
u



 
                      
 
.
;
;
2
2
,
3
1
1
,
3
2
3
,
2
gx
E
v
u
gx
E
v
u
gx
E
v
u







 
ifodalarga ega bo‘lamiz. Bu ifodalar asosida  formulalarda integrallashni 
)
,
0
,
0
(
0

M
 
nuqtadan boshlab bajarib 
)
(
k
x
M
 ixtiyoriy nuqta ko‘chishlariga ega bo‘lamiz: 




;
2
;
;
2
2
2
2
1
2
3
3
3
2
2
3
1
1









x
x
v
x
E
g
u
x
x
E
g
v
u
x
x
E
g
v
u



 
oxirgi formuladan 
0
2
1

 x
x
 bo‘lganda, 


,
2
2
3
2
3
x
E
g
u





 
ya’ni 
3
x
 o‘qining nuqtalari faqat vertikal ko‘chishlarga ega. 

 
142 
Ixtiyoriy 
)
(
k
x
M
 nuqta radial yo‘nalishda undan
3
x
 o‘qigacha bo‘lgan 
r
 masofaga 
proporsional ravishda ko‘chadi, ammo aylanma 

 yo‘nalishida ko‘chmaydi, 
chunki  
.
0
sin
cos
,
sin
cos
1
2
3
2
1













u
u
u
rx
E
g
v
u
u
u
r
 
Bu yerdan shunday xulosa chiqarish mumkin: "deformatsiyagacha 
3
x
 o‘qiga 
parallel bo‘lgan "tola" (nuqtalarning geometrik o‘rni), deformatsiadan keyin bu 
o‘qqa 
r
 masofaga proporsional ravishda og‘adi. Deformatsiyadan keyin 
ko‘ndalang kesimlar qiyshayib aylanish paraboloidi sirti shaklini oladi. Masalan, 
a
x 
3
 kesimning nuqtalari deformatsiadan keyin quyidagi paraboloid sirti 
nuqtalarining koordinataga ega bo‘ladi: 

 



.
2
2
2
2
2
2
1
3
1
3
a
x
x
v
E
g
a
u
a
x









 
Bu sirt brusning hamma bo‘ylama tolalariga perpendikulyar bo‘ladi. Bu tolalar 
deformatsiadan keyin 
3
x
 o‘qiga og‘adi. Ushbu faktor burchak deformatsialari 
13
12
,


 va 
23

 larning bo‘lmasligiga mos keladi. Keltirilgan xulosalar sxematik 
tarzda tasvirlangan. Chizmada shtrix chiziqlar bilan brusning deformatsiyadan 
keyingi shakli tasvirlangan. 
 
 
 
 
 
 
        x
2
                                                                       x
2
 
        M                                                  M 
                            
                                     v                 
                                                

     x
3
      h                                x
1 
                                    
 o 

 
143