Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

 
Prizmatik brusning o‘z og‘irligi va o‘qi bo‘ylab qo‘yilgan kuch ta’sirida 
cho‘zilishi. 
 
Yuqorida qaralgan sodda masalalar Sen-Venan yarimteskari metodini qo‘llashga 
doir edi. Endi superpozitsia metodini qo‘llashga doir quyidagi masalani qarab 
chiqamiz: "Uzunligi 

 bo‘lgan prizmatik brus o‘zining yuqori uchi bilan 
mahkamlangan va o‘zining og‘irlik kuchi, hamda erkin uchiga qo‘yilgan va brus 
o‘qi bo‘ylab yo‘nalgan 
p

 kuchi ta’siri ortida cho‘ziladi. Brusning kuchlangan-
deformatsialangan holati aniqlansin". 

 
144 
Koordinatalar boshini brusning yuqori uchining og‘irlik markazida joylashtiramiz 
va 
3
x
 o‘qini brus o‘qi bo‘ylab pastga yo‘naltiramiz. Sen-Venan prinsipi asosida 
p

 
kuchni unga statik ekvivalent, intensivligi 
s
p


 (
s
- brus ko‘ndalang kesimi 
yuzasi) ga teng bo‘lgan va brusning pastki uchi bo‘ylab tekis taqsimlangan kuch 
bilan almashtiramiz. U holda masala chiziqli bo‘lganligi uchun uning yechimi 
keltirilgan masalalar yechimlarining yig‘indisiga teng bo‘ladi. Demak, 
superpozitsiya metodiga ko‘ra masalaning quyidagi yechimini olamiz: 
1
0
.  
0
);
(
1
);
(
31
23
12
3
33
3
22
11



















gx
E
gx
E
v
 
2
0
.   
);
(
);
(
3
2
2
3
1
1
gx
x
E
v
u
gx
x
E
v
u








 




.
2
1
2
2
2
2
1
2
3
3
3













x
x
v
x
g
x
E
u


 
Bunda kuchlanishlar uchun quyidagi qiymatlar qabul qilinadi: 
.
,
0
3
33
31
23
12
22
11
gx















 
 
O‘zgarmas kesimli to‘g‘ri  brusning sof egilishi 
Koordinat sistemasining boshini brus chap uchining og‘irlik markaziga qo‘yamiz. 
Brusning o‘qi bo‘ylab 
3
x
 o‘qini yo‘naltiramiz, 
1
x
 va 
2
x
 o‘qlarini esa ko‘ndalang 
kesimning bosh o‘qlari bo‘ylab yo‘naltiramiz . Brusning uchlariga miqdorlari teng 
va qarama-qarshi yo‘nalgan 
M
 momentlar 
3
2
0x
x
 tekisligida ta’sir qiladi. 
 
                    a)                                                      b) 
          x
2               
                                                              x
2 
 
                                                          
     O                                   v                x
3
   h                             x
1 
                                  

 
 
 
                 c                                                                
      

                                                    b  
 
 
 
1- chizma 
 
 v 


 
 M 
 M 

 
145 
 
 
 
 
 
 
 
 
Materiallar qarshiligi kursidan ma’lumki, brusning bunday yuklanishi sof 
egilish deyiladi va brusning ixtiyoriy 
)
(
k
x
k
 neqtasidagi kuchlanish tenzorining 
ij

 
komponentalari 
2
33
31
23
12
22
11
,
0
x
E













                                              (1) 
ga teng. Bu yerda 

- brus egilgan o‘qining egrilik radiusi. 
Xuddi yuqoridagi masalalarda bo‘lgani kabi, (1) yechim elastiklik 
nazariyasining asosiy tenglamalarini qanoatlantishlarini, ya’ni bu yechim aniq yoki 
aniq emasligini tekshiramiz. Massaviy kuchlar hisobga olinmaydi. U holda 
Beltrami-Mitchell va muvozanat tenglamalari to‘g‘ridan-to‘g‘ri tekshirish yo‘li 
bilan qanoatlantirishlarini ko‘rish qiyin emas. 
i
S
j
ij
F
n



   chegaraviy  shartlar 
esa (1) ni hisobga olganda 
 
3
33
3
2
1
,
0
,
0
n
F
F
F




 
                                                                   
(2) 
ko‘rinishni oladi. 
Brusning yon sirtlari sirt kuchlaridan xoli bo‘lsa, brusning yon sirtida 
0
3

n
 
bo‘lganligi uchun, (2) chegaraviy shartlar aynan qanoatlantiriladi va bu narsa 
masala shartiga mos keladi. Brusning chap va o‘ng uchlari uchun 
1
3


n
 va 
demak, 
.
2
33
3
x
E
F






   
                                                               (3) 

 
146 
ya’ni, brus uchlaridagi 
M
 momentlarga keltiriluvchi sirt kuchlari ko‘ndalang 
kesimda xuddi 
33

 kabi taqsimlangan bo‘lishlari kerak. 
Brusning ko‘ndalang kesimidagi eguvchi moment 






S
x
S
x
EI
dx
dx
x
E
dx
dx
x
M




1
1
2
1
2
2
2
1
2
33
                                              (4) 
ga teng bu yerda 
1
x
I
- brus ko‘ndalang kesimining 
1
x
 bosh o‘qiga inersiya momenti. 
(4) dan: 
 
1
1
x
EI
M


. 
 
 
                                                                   (5) 
Endi (1) ni  
.
;
2
1
31
23
12
33
22
o
p
E
v












  ga qo‘yib, 
.
0
,
1
1
,
31
23
12
2
33
33
2
33
22
11




















x
E
x
v
E
v
 
                                                  (6) 
Faraz qilaylik, 


о
о
о
О
,
,
 nuqtaning atrofi bikr ko‘chishlarga ega bo‘lmasin. U holda, 
xuddi  yuqoridagi  kabi,  ixtiyoriy 
 
к
х
К
  nuqtaning  ko‘chishlari  quyidagi  tengliklar 
bilan aniqlanadi: 




.
,
,
3
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
1
1
1
2
1
x
x
u
x
x
v
x
u
x
x
v
u










                                           (7) 
Brus o‘qi ustidagi nuqtalar uchun 


0
2
1

 x
x
 
.
,
,
2
3
2
3
2
3
1
1
2
2
0
0
x
EI
M
x
u
u
u
x







                                                         (8) 
Oxirgi tenglik brus egilgan o‘qining tenglamasidan iboratdir (elastik chiziq deb ham 
yuritiladi). 
Brusning  biror 
а
х 
3
  kesimini  qaraymiz.  Deformatsiyadan  keyin  bu  kesim 
nuqtalari 













2
33
1
3
1
х
а
а
а
х
                                                                       (9) 

 
147 
tekislikda  joylashadilar,  ya’ni  ko‘ndalang  kesim  sof  egilishda  tekisligicha  qoladi  va 
uning 
3
х
 o‘qiga og‘ish burchagining tangensi 
,
1
1
3
2
x
J
Ma
E
a
dx
dx
tgv




                                          (10) 
chunki (9) ga ko‘ra 
2
1
3
1
dx
a
dx




 
Elastik (8) chiziqning 
а
х 
3
 bo‘lgandagi burchak koeffitsiyenti 


.
/
1
3
3
2
x
a
x
EI
a
dx
du
tg






                                   (11) 
(10) va (11) lardan 
.
1


 tgv
tg

 
Bundan  elastik  chiziq  deformatsiyadan  keyingi  ko‘ndalang  kesimga  perpendikulyar 
ekanligi ko‘rinadi. Boshqacha aytganda sof egilishda brusning ko‘ndalang kesimlari 
elastik chiziqqa perpendikulyar tekis kesimlarga o‘tadilar. 
Egilishgacha  brusning 
а
х 
3
  ko‘ndalang  kesimida  b  va  h  tomonlari 
1
х
  va 
2
х
 
o‘qlariga  parallel  bo‘lgan  to‘g‘ri  to‘rtburchak  ajratilgan  deb  tasavvur  qilamiz  (1-
chizma).  Egilishdan  keyin,  bu  to‘g‘ri  to‘rtburchak 
2
1
b
х


,  tomonlari,  to‘g‘ri 
chiziqligicha qolganlari holda 













2
1
1
1
1
2
2
vx
b
u
b
x
 
bo‘lib,  1-chizmada  ko‘rsatilgandek  buriladi.  To‘g‘ri  to‘rtburchakning  qolgan  ikkita 
2
2
h
х


 tomonlari parabola yoylariga aylanadilar: 
.




















4
2
1
2
2
2
2
1
2
2
1
2
h
x
v
a
h
u
h
x

 
Doiraviy prizmatik brusning buralishi masalasi. 
Faraz  qilaylik,  doiraviy  prizmatik  brusning  chetki  ko‘ndalang  kesimlarida 
momentlarining  qiymatlari  teng  ishoralari  esa  qarama-qarshi  bo‘lgan  juft  kuchlar 

 
148 
ta’sir  etsinlar.  Bu  holda  brus  buralib  deformatsiyalanadi  .  Brusning  yon  sirti  sirt 
kuchlaridan  xoli 


0

i
F
  va  massaviy  kuchlar  yo‘q 


0

i
f
.  Aniqlik  uchun 
3
x
  o‘qini 
brusning o‘qi bo‘ylab yo‘naltiramiz (2-chizma). 
Materiallar  qarshiligi  kursida  masalaning  elementar  yechimini  olish  uchun 
quyidagi  farazlar  kiritiladi:  bir-birlariga  nisbatan  buriladi  va  ularning  radiuslari 
o‘zgarmaydi. 
Agar  shu  farazlarni  to‘g‘ri  deb  hisoblasak,  brusning  biror  ko‘ndalang  kesimi 
ixtiyoriy nyqtasining ko‘chish vektori komponentalari 
.
,
,
0
3
3
1
2
3
2
1




u
x
x
u
x
x
u


                                                         (12) 
formulalar bilan aniqlanadi. Bu yerda-

-brusning uzunlik 
 
 
 
 
 
2-chizma 
 birligidagi o‘zgarmas buralish burchagi. 
Qabul  qilingan  (12)  yechim  elastiklik  nazariyasining  asosiy  tenglamalarini 
qanoatlantirishini tekshiramiz. Koshining diffirensial bog‘lanishlaridan: 
                 
.
0
.
2
1
2
1
,
2
1
2
1
,
0
,
0
,
0
,
0
33
22
11
2
3
1
1
3
31
1
2
3
3
2
23
12
33
22
1
1
11




















































х
x
u
x
u
х
x
u
x
u
x
u
                                                      
(13) 
Agar  (12)  Sen-Venan  shartlariga  uzviylik  tenglamalari  qo‘yilsa,  ular  aynan 
bajariladi. Bundan tashqari, massaviy kuchlarning nolga tengligi (13) hisobga olinsa, 
A. Lame tenglamalarining ham qanoatlantirilishini ko‘rish qiyin emas. 
                
              x
2 
                                                              x
2
                                                                                 
                              
                                         
               K(x
k
)                   -M 
  M                             M                            
                             x
1   
 x
3
 
 -u
1
   
     -u
2
                                                                     x
1 
                                      6.7-chizma.          

 
149 
Endi (13) ifodalar asosida Guk qonuniga ko‘ra 
       
2
31
1
23
12
33
22
11
0
x
x
















,
,
                                                                             
(14) 
formulalarga  ega  bo‘lamiz.  Bu  yerdan  ko‘rinadiki,  brusning  istalgan  ko‘ndalang 
kesimiga  faqat  ikkita 
23

  va 
31

  kuchlanishlar  ta’sir  qiladi.  Brus  yon  sirtida 
0
3

n
 
ekanligini 
hisobga 
olib, 
(14) 
formulalarni 
xuddi 
.
;
;
3
3
33
2
2
22
1
1
11
n
p
n
n
p
n
n
p
n









  chegaraviy  shartlarga  qoyib  hamda 
0

i
F
 
ekanligidan 
0

nj
P
 ga ega bo‘lamiz. Bu yerda 
n
P

-normali 
n

 bo‘lgan maydonchadagi 
kuchlanish  vektori.  Demak,  brusning  yon  sirti  kuchlanishlardan  xoli  bo‘lishi  kerak. 
Bu farq haqiqatan ham o‘rinli. 
Brusning chap va o‘ng chetki ko‘ndalang  kesimlarida 
1
0
3
2
1




n
n
n
,
. U holda 
(14) ni yana 
i
ij
nj
n
P


 ifodaga yana bir marta qo‘yib, (12) yechimga mos keluvchi sirt 
kuchlarini topamiz: 
.
,
,
0
3
1
2
2
1




n
n
n
P
x
P
x
P





                                                          (15) 
Shunday  qilib,  (12)  yechim  quyidagi  xulosaga  olib  keladi:  brusning  chetki 
ko‘ndalang  kesimlarida  (14)  qonuniyat  bo‘yicha  taqsimlangan  faqat  urinma 
kuchlanishlargina  ta’sir  etishlari  kerak.  Bu  kuchlarning  doira  (ko‘ndalang  kesim) 
markaziga  nisbatan  hisoblangan  bosh  momenti 
 
М
  va  bosh  vektori 
 
R
  lar 
quyidagicha aniqlanadi: 
,





s
s
n
ds
x
ds
P
R
2
1
1


 















s
s
n
n
s
s
n
ds
x
x
ds
x
P
x
P
L
ds
x
ds
P
R
.
,
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
2




 
Ammo 
1
x
  va 
2
x
  o‘qlari  koordinatalar  boshi  bo‘lgan  doira  markazidan 
o‘tganliklari uchun doira yuzasining statik momentlari nolga teng bo‘ladilar, ya’ni 

 
150 
.
0
1
2




s
s
ds
x
ds
x
 
bundan tashqari 









s
s
r
dr
r
ds
x
x
I
2
4
2
2
2
2
2
1
0


 - 
doira yuzining qutb inersiya momenti bo‘lgani uchun 
0
2
1
0
I
L
R
R





,
                                                         (16) 
formulaga  ega  bo‘lamiz.  Ushbu  formulalarda 
r
-doira  radiusi, 
2
1
R
R ,
-bosh  vektor 
R
ning 
1
x
 va 
2
x
 o‘qlaridagi proyeksiyalari. 
Brusning  chetlarida  tashqi  kuchlarni  (14)  qonun  asosida  qo‘yish  amalda  deyarli 
mimkin  emas.  Lekin  Sen-Venan  prinsipi  asosida  (14)  yechimni  aniq  deb  hisoblash 
mumkin,  agar  statik  ekvivalentlik  shartlariga  riyoa  qilingan  bo‘lsa.  Ya’ni 

-
o‘zgarmasni shunday tanlaymizki (bu mumkin), bunda qo‘yilgan kuchlar juftining 
M
momenti  chetki  kesimlardan  biriga  teng  ta’sir  etuvchi 
L
  momentga  teng  bo‘lsin, 
ya’ni 
M
I
L


0
0


 
bundan 
0
I
M



                                                       (17) 
Bu esa doiraviy prizmatik brusning buralishidagi Guk qonunidan iboratdir. 
Adabiyotlar: 
1. R.I.Xolmurodov, X.X.Xudoynazarov “Elastiklik nazariyasi” I-II qism. Toshkent, fan, 
    2003 y. 
29. Mamatqulov Sh. Elastiklik nazariyasidan ma’ruzalar. T.: Universitet, 1995. 
30. Timoshenko S.P., Gudyer Dj. Teoriya uprugosti. M., Mir, 1975. 
31. Aleksandrov  A.V.  Potapov  V.D  «Osnovы  teorii  uprugosti  i  plastichnosti» 
M.Vыs.shk. 1990g.  400st. 
32. V.I. Samul  «Osnovы teorii  uprugosti  i plastichnosti» M. Vыs.shk. 1982g. 264 
st. 
33. S.P.Rekach. Rukovodstvo k resheniyu zadach po teorii uprugosti. M. 1977 g. 
 

 
151 
5- AMALIYOT 
DARSI