Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat
Deformatsiyaning chiziqli tenzori va kichik burilish tenzori
Download 1.83 Mb. Pdf ko'rish
|
Elastiklik nazariyasi
- Bu sahifa navigatsiya:
- Deformatsiya tenzori komponentalarining geometric ma‘nosi
- Kichik deformatsiya tenzori
Deformatsiyaning chiziqli tenzori va kichik burilish tenzori. Bundan oldingi paragrafda j i u , nisbiy ko‘chish tenzorini simmetrik i j j i ij u u , , 2 1 (3.16) hamda antisimmetrik i j j i ij u u , , 2 1 (3.17) tenzorlarga yoygan edik, ya‘ni ij ij i j j i i j j i j i u u u u u , , , , , 2 1 2 1 yoki ij ij j i u , (3.18) U holda (3.18) ni (3.11) ga qo‘yib . 2 / kj kj ki ki ij ij e (3.19) ifodaga ega bo‘lamiz. Bu yerda kj ki ij , , miqdorlar (3.16) formula bilan aniqlanadilar va chiziqlidirlar. Shuning uchun ij lar deformatsiya chiziqli tenzorining komponentalari deyiladi. Mos ravishda ) ( ij tenzori deformatsiya chiziqli tenzori deyiladi. Nisbiy ko‘chish vektori (3.2-rasm) i j j i i j j i i i э dx u э dxl дx дu э du u d , ga teng bo‘ladi va (3.18) ga asosan u u э dx dx u d i j ij j ij , bu yerda j dx - N niqtaning boshi M nuqtada bo‘lgan lokal koordinat sistemasidagi koordinatalari. Bu ifoda u d nisbiy ko‘chish vektorini ikki u va u vektorlari yig‘indisidan iboratligini ko‘rsatadi. Yangi i i dx belgilashlar kiritamiz. U holda i j ij i j ij u u , Endi u va u vektorlariga mos ij va ij deformatsiyalarni (3.16) formula asosada hispblaymiz: 52 o u u u u ji ij i j j i ij ij ji ij i j j i ij 2 1 2 1 2 1 2 1 Bu yerdan u vektori jism N nuqtasining М nuqtasiga nisbatan ko‘chishini ifodalashi va lekin bu ko‘chish М nuqta atrofining deformatsiyasi natijasi emas, balki shu atrofning xuddi absolyut qattiq jism kabi kichik burilishi natijasi ekanligini ko‘rsatadi. Shuning uchun ham komponentalari (3.17) bo‘yicha aniqlovchi ij tenzori kichik durilish tenzori deb ataladi. Antisimmetrik ij tenzorini burilish vektori u rot 2 1 (3.20) bilan tavsiflash mumkin, bu yerda . 2 1 ; 2 1 ; 2 1 2 , 1 1 , 2 21 12 3 1 , 3 3 , 1 13 31 2 3 , 2 2 , 3 32 23 1 u u u u u u (3.21) Shunday qilib (3.19) ga ko‘ra deformatsiya chiziqlimas ij e tenzorini deformatsiya chiziqli ij tenzori va kichik burilish ij tenzorlari orqali tasvirlash mumkin ekan. Deformatsiya tenzori komponentalarining geometric ma‘nosi Chiziqli ds elementning nisbiy uzayishini s bilan belgilaymiz, ya‘ni ds ds s d s bundan . 1 ds s d s u holda 2 2 2 2 ds ds s d s s (3.22) (3.10) bilan (3.22) dan j i ij s s dx dx e ds 2 2 2 2 yoki ds -elementning yo‘naltiruvchi kosinuslari ds dx ds dx j j i i , bo‘lganliklari uchun j i ij s s e 2 2 2 (3.23) tenglikka ega bo‘lamiz. Faraz qilaylik chiziqli ds element deformatsiyaga qadar i x koordinat o‘qiga parallel bo‘lgan bo‘lsin. U holda j i uchun i s j j i i o ds o ds dx ds ds ds dx ; ; 1 (3.23) formula asosida i i i i e € 2 2 2 (3.24) Bu tenglama i ga nisbatan kvadrat tenglamadir. Uni yechib 53 1 2 1 € i i i е (3.25) Oxirgi formulada i - i x koordinat o‘qi bo‘ylab yo‘nalgan nisbiy uzayishdir. Demak, ij е deformatsiya tenzorining normal 33 22 11 , , е е е komponentalari 2 1 , х x va 3 x koordinat o‘qlari bo‘ylab nisbiy uzayishlar yoki qisqarishlarni ifodalaydilar. Normal deformatsiyalarni tasavvur qilish uchu quyida jismdan ajratib olingan elementar parallelepiped yoqlari deformatsiyasi keltirilgan (3.3.a,b,c-rasmlar). Uning qirralari o‘qlarga mos ravishda 3 2 1 , , dx dx dx larga ten qilib olingan. Agar jismda har uchola koordinat o‘qlari bo‘ylab deformatsiyalansa ii e e e e е 33 22 11 (3.26) ifodaga hajmiy deformatsiya deyiladi. Endi jismning berilgan М nuqtasidan chiquvchi va deformatsiyagacha oralaridagi burchak bo‘lgan ikkita 1 ds va 2 ds chiziqli elementlarini qaraymiz. Bu elementlarning yo‘nalishlari 2 2 1 1 , ds dx ds dx i i i i yo‘naltiruvchi kosinuslar bilan aniqlanadi. Deformatsiyadan keyin 1 s d va 2 s d elementlar orasidagi burchakni bilan, ularning yo‘naltiruvchi kosinuslarini 2 2 1 1 , s d x d s d x d i i i i orqali belgilaymiz. Deformatsiyalanishdan keyin j j i i i i i dx u dx du dx x d , bo‘lganligidan 1 1 1 , 1 1 1 s d ds ds dx u ds dx s d du dx j j i i i i i ifodaga ega bolamiz. Buyerda yuqorida keltirilgan ds s d s 1 1 formulani hisobga olsak , 1 1 1 , 1 1 j j i i i u s d xuddi shunday x 3 x 3 a) dx 2 b) dx 3 o x 2 dx 3 o x 2 dx 1 dx 1 e 11 dx 1 dx 2 x 1 x 1 e 22 dx 2 c) x 3 e 33 dx 3 dx 3 3.3-rasm. o x 2 dx 2 dx 1 x 1 54 2 2 , 2 2 1 j j i i i u s d u holda 2 1 2 , 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 2 1 1 1 cos j j i i j i i j j i j i j i i i i i u u u u Bu formulada gung indekslarning belgilarini almash-tirib j i j k ki j j i j j i j i i j i j j i u u u u u u 2 1 , 2 , 1 , 2 1 , 2 1 , ; ifodalarni olamiz. Mana shu ifodalarni, cos 2 1 j i tenglikni hamda (3.11) formulalarni hisobga olsak 2 1 2 1 1 1 2 cos cos i j ij e (3.27) Faraz qilaylik deformatsiyaga qadar 1 ds va 2 ds elementlar i х va j х koordinat o‘qlariga parallel bo‘lgan bo‘lsinlar. U holda 1 ; 1 , , , 0 cos € 1 2 1 jj rj i i i j i (3.27) formula asosida j i ij ij e 1 1 2 2 cos cos , (3.28) buyerda ij -siljish burchagi. Bu burchak jismning М nuqtasidan chquvchi, i х va j х o‘qlariga parallel 1 ds va 2 ds elementlar orasidagi boshda (deformatsiya-gacha) to‘g‘ri bo‘lgan burchakning kamayishini xarakterlaydi. Endi (3.28) ga (3.25) ni qo‘ysak j j i i ij ij e e e arc 2 1 2 1 2 sin (3.29) Shunday qilib ij e tenzorning j i e ij komponentalari siljish burchaklarini xarakterlaydilar. Demak, i i e € -deformatsiya tenzorining chiziqli komponentalari, yo‘ki chiziqli deformatsiyalar, j i e ij -deformatsiya tenzorining burchak komponentalari, yo‘ki burchak deformatsiyalardir. Chiziqli deformatsiyalar musbut bo‘ladilar, agar qiralarning o‘lchamlari kattalashsa (3.3.a,b,c- rasm), aks holda, ya‘ni parallelepiped qirralarining o‘lchamlari deformatsiya natijasida kichraysa chiziqli deformatsiyalar manfiy bo‘ladilar. Jismning berilgan nuqtasidagi burchak deformatsiyasi parallelepiped qirralari orasidagi burchakning kichrayishi (musbat) va kattalashishi (manfiy) bilan xarakterlanadilar (3.4-a,b,c-rasm). a) x 3 b) x 3 21 c) x 3 13 21 2 13 2 32 o x 2 o x 2 o x 2 x 1 x 1 x 1 32 2 3.4-rasm. 55 Agar parallelepipedning bosda 1 ox o‘qiga parallel bo‘lgan qirrasi, 2 ox o‘qiga parallel qirraga qarab burilsa burchakning sodir bo‘lgan qisqarishi 12 (3.5.a-rasm) bilan, agar teskarisi bo‘lsa qisqarish 21 bilan (3.5.b-rasm) belgilanadi. Nihoyat 3.5.c-rasmda tasvirlangan holatda ham burchak qisqarishi 12 bilan belgilanadi. Bu holda 3 ox o‘qiga parallel bo‘lgan uchinchi qirra 2 1 х ox tekisligiga qarab shu burchak buriladi. Kichik deformatsiya tenzori Texnikada ishlatiladigan materiallarning ko‘pchi-ligi (ba‘zi rezina va polimerlardan tashqari) juda ki-chik nisbiy uzayishlar va siljishlardagina to‘liq elastik bo‘lib qoladilar. Boshqacha aytganda ular faqat kichik deformatsiyalardagina to‘liq elastik bo‘lib qoladilar. Deformatsiya kichik deyilai, agar i -nisbiy uzay-ishlar va ij - siljish burchaklari istalgan i va j lar uchun ij i , tengsizliklarni qanoatlantirsalar. Buyerda 1 va ga nisbatan 2 ni hisobga olmaslik mumkin bo‘lgan darajada kichik. Kichik deformatsiya holida deformatsiya chiziqlimas tenzori ij е - kichik deformatsiya tenzori deyiladi. Bu tenzorning komponentalari (3.19) formulalar bilan aniqlanadi. Ushbu formulalardan ko‘rinadiki kichik deformatsiya holida deformatsiya chiziqli tenzori - ij va kichik burilish tenzori- ij larning komponentalari ham kichik bo‘lishlari zarur-ligi kelib chiqadi. Bir o‘lchami boshqa ikki o‘lchamidan ancha kichik bo‘lgan jismlarda ba‘zi yuklanish sharoitlari uchun deformatsiya kichik bo‘lsa ham nuqtalarning ko‘chishlari katta bo‘ladi. Bunday hollarda ij е lar ij larga nisbatan kichiklik artibi ancha yuqori bo‘ladi, shunday uchun (3.19) formulalarda кj larning kvadratik yigindilarini hisobga olishga to‘g‘ri keladi va (3.19) kj ki ij ij е 2 1 (3.30) ko‘rinishni oladi. Buni yoyib yozsak . 2 1 ; 2 1 ; 2 1 ; 2 1 ; 2 1 ; 2 1 1 3 31 31 2 2 2 1 33 33 3 2 23 23 2 3 2 1 22 22 2 1 12 12 2 3 2 2 11 11 е е е е е е (3.31) Buyerda 3 2 1 , , lar кj lar orqali (3.21) formulalar yo‘rdamida aniqlanadilar. Agar jismning o‘lchamlari bir birlaridan katta farq qilmasalar, ij е va ij komponentalar bir xil tartibli kichik miqdorlar bo‘ladilar, ya‘ni ularning absolyut qiymatlari x 2 a) x 2 b) x 2 c) 12 21 21 2 21 2 1 12 2 o x 1 o x 1 o x 1 12 12 2 1 3.5-rasm. 56 . 1 ; ; ij ij (3.32) Bu holat amaliyotda eng ko‘p uchraydi. Bunda kichik deformatsiya tenzori - ij е deformatsiya chiziqli tenzori - ij bilan bir xil bo‘ladi, i j j i ij u u , , 2 1 (3.33) Yuqoridagi (3.32) shrtlar ko‘chishlarning kichiklik sharti . 1 , , j i u (3.34) bilan ekvivalentdir. Ushbu shart jismning ixtiyoriy к х М nuqtasi uchun i va j larning hamma qiymatlarida bajariladi. Ana shu (3.34) shart j i u , tenzori komponentalari kvadratlarini va ko‘paytmalarini ularning birinchi darajalariga nisbatan hisobga olmaslik imkonini beradi. Shunday qilib ko‘chishlar kichik bo‘lganida deformatsiyalar ham kichik bo‘ladilar va kichik deformatsiya tenzori komponentalari chiziqli. Bundan keyin chiziqli deformatsiya tenzorini oddiy qilib deformatsiya tenzori deb ataymiz. Kichik deformatsiya holida 1 i va i i 2 bo‘lganligidan (3.24) va (3.28) formulalaridan ij -deformatsiyalari tenzorining geometric ma‘nosi kelib chiqadi: ij ij ij ij i i i i i e 2 sin 2 cos , € € yoki ij ij 2 1 (3.35) Demak, deformatsiya tenzorining chiziqli komponentalari koordinat o‘qlari bo‘ylab nisbiy uzayishni, burchak komponentalari - j i е ij lar koordinat o‘qlariga parallel elementlar prasidagi siljish burchagining yarmiga teng ekan. Deformatsiya tenzorining olti o‘zaro bog‘lan-magan komponentalari (3.33) asosida . 2 1 ; 2 1 ; 2 1 ; ; ; 3 1 1 3 31 2 3 3 2 23 1 2 2 1 12 3 3 33 2 2 22 1 1 11 x u x u x u x u x u x u x u x u x u (3.36) Ushbu munosabatlar koshining differensial bog‘lanishlari deb yuritiladi. Deformatsiya tenzorining ham rangi ikkiga teng bo‘lganligi sababli koordinat o‘qlari burilganda uning komponentalari ij sj ri rs (3.37) qonuniyat bilan almashtiriladi. Yo‘naltiruvchi kosinus-lar - sj ri , lar uchun ikkinchi bobda qabul qilingan belgilashlardan foydalanib (3.37) formulani yoyib yozish oson: 57 . ; ; ; 2 2 2 ; 2 2 2 ; 2 2 2 3 1 1 3 31 3 1 1 3 23 3 1 1 3 12 1 3 33 1 3 22 1 3 11 31 2 3 3 2 31 2 3 3 2 23 2 3 3 2 12 3 2 33 3 2 22 3 2 11 23 1 2 2 1 31 1 2 2 1 23 1 2 2 1 12 2 1 33 2 1 22 2 1 11 12 3 3 31 3 3 23 3 3 12 2 3 33 2 3 22 2 3 11 33 2 2 31 2 2 23 2 2 12 2 3 33 2 2 22 2 2 11 22 1 1 31 1 1 23 1 1 12 2 1 33 2 1 22 2 1 11 11 n n n m n m m m n n m m n n n m n m m m n n m m n n n m n m m m n n m m n n m m n m n n m m n m n n m m n m (3.38) Ushbu (3.38) formulalar jismning berilgan nuqtasidan chiquvchi ixtiyoriy o‘zaro perpendikulyar r va s yonalishlari bo‘ylab istalgan chiziqli r r € va burchak rs deformatsiyalarni hisoblashga imkon beradi, agar eski o‘qlarga nisbatlangan ij deformatsiyalar ma‘lum bo‘lsa. Download 1.83 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling