Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat
Download 1.83 Mb. Pdf ko'rish
|
Elastiklik nazariyasi
- Bu sahifa navigatsiya:
- (2.65) ning ildizlari sifatida topilishi kerakligi aniqlangan edi. Bu yerda kuchlanish
- (2.66) formulalar bilan aniqlanadi. Kubik (2.65) tenglamani yechish uchun quyidagi
- (2.67) formulalar yordamida hisoblash mumkin. Ushbu kuchlanishlardan eng kattasi 1 , eng kichigi
- bo‘ladi. Jism nuqtasidagi o‘tuvchi maydonchaning n normalining yo‘naltiruvchi kosinuslarini
- (2.68) Bosh kuchlanishlarni (2.67) dan aniqlab va topilgan qiymatlarni (2.68) ga qo‘yib hamda
- larni aniqlash mumkin. Matematika kursidan ma’lum Kramer qoidasi asosida
- (2.69) bu yerda
- (2.70) Bosh maydonchalarning o‘zaro perpendikular ekanliklarini isbotlash ham
40 Bosh kuchlanishlarni hisoblash formulalari. Bosh kuchlanishlar uchinchi darajali (2.23) tenglama 0 3 2 2 1 3 I I I (2.65) ning ildizlari sifatida topilishi kerakligi aniqlangan edi. Bu yerda kuchlanish invariantlari (2.25) formulalarga ko‘ra: . 2 ; ; 31 23 12 2 12 33 2 31 22 2 23 11 33 22 11 3 2 31 2 23 2 12 11 33 33 22 22 11 2 33 22 11 1 I I I (2.66) formulalar bilan aniqlanadi. Kubik (2.65) tenglamani yechish uchun quyidagi usulni qo‘llaymiz. Quyidagi yordamchi kattaliklarni hisoblaymiz: . cos ; 2 6 27 ; 3 1 3 1 3 2 1 3 1 2 1 2 a a b I I I I b I I а Endi (2.65) tenglamaning ildizlarini 6 3 cos 2 ; 6 3 cos 2 ; 6 3 cos 2 1 1 1 I а I а I а (2.67) formulalar yordamida hisoblash mumkin. Ushbu kuchlanishlardan eng kattasi 1 , eng kichigi 3 bo‘ladi. Jism nuqtasidagi o‘tuvchi maydonchaning n normalining yo‘naltiruvchi kosinuslarini n m, , lar bilan belgilaymiz. U holda (2.8) va (2.51) formulalarda n n m n n 3 2 1 , , deb olib, (2.20) formulani quyidagicha ko‘chirib yozamiz . 0 ; 0 ; 0 33 32 31 23 22 21 31 12 11 n m n m n m (2.68) Bosh kuchlanishlarni (2.67) dan aniqlab va topilgan qiymatlarni (2.68) ga qo‘yib hamda 1 2 2 2 n m ekanligini hisobga olib, (2.68) dan uchta bosh maydonchalarning har birining vaziyatini aniqlash, ya‘ni ) 3 , 2 , 1 ( , , i n m i i i larni aniqlash mumkin. Matematika kursidan ma’lum Kramer qoidasi asosida i i i n m , , larni hisoblash oson i i i i i i i i i n m 3 2 1 ; ; (2.69) bu yerda 41 2 3 2 2 2 1 2 12 22 11 3 31 12 23 11 2 23 12 31 22 1 ; ; ; i i i i i i i i i i (2.70) Bosh maydonchalarning o‘zaro perpendikular ekanliklarini isbotlash ham qiyin emas. Buning uchun yo‘naltiruvchi kosinuslarning birinchi va ikkinchi bosh maydonchalarga mos keluvchi qiymatlarini (2.68) ga qo‘yamiz: . 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 2 2 33 2 32 2 31 2 23 2 2 22 2 21 2 31 2 12 2 2 11 1 1 33 1 32 1 31 1 23 1 1 22 1 21 1 31 1 12 1 1 11 n m n m n m n m n m n m Endi bu tenglamalarning birinchi uchtasini mos ravishda 2 2 2 , , n m larga, ikkinchi uchtasini 1 1 1 , , n m larga ko‘paytirib, hamma oltita tenglamani qo‘shamiz. Natijada 0 2 1 2 1 2 1 1 2 n n m m Umumiy holda , 2 1 shuning uchun 0 2 1 2 1 2 1 n n m m Oxirgi tenglik, analitik geometriya kursidan ma’lumki, qaralayotgan ikki maydoncha o‘zaro perpendikylar bo‘lganda o‘rinlidir. Ikki o‘qli kuchlanganlik holati. Faraz qilaylik, ij kuchlanish tenzorining n q kuchlanish vektori ta’sir qiluvchi maydonchaning n ~ normali va ~ urinmasi yo‘nalishlaridagi normal va urinma komponentalarini aniqlash kerak bo‘lsin. Buning uchun (2.15) formulalardan foydalanish yetarli bo‘ladi. Agar n normalning yo‘naltiruvchi kosinuslari n m, , lar bilan, urinmaninig esa 1 1 1 , , n m lar bilan belgilansa, (2.15) ning birinchi guruh tenglamalarida istalgan 1 € i i normal kuchlanish o‘rniga nn ni qo‘yib, n mn m n m nn 31 23 12 2 33 2 22 2 11 2 2 2 (2.71) va ikkinchi guruh tenglamalarida istalgan 1 ij urinma kuchlanish o‘rniga n ni qo‘yib, 1 1 31 1 1 23 1 1 12 1 33 1 22 1 11 n n n m mn m m nn mm n (2.72) formulalarga ega bo‘lamiz. Ushbu mavzu doirasida bir va ikki o‘qli kuchlanganlik holatlarini qarab chiqamiz. Bu holatlarning ta’riflari keltirilgan edi. Faraz qilaylik bosh kuchlanishlardan biri, masalan, 3 nolga teng bo‘lsin. Koordinat sistemasining 3 ох o‘qini uchinchi bosh yo‘nalish bilan ustma-ust qo‘yamiz va bosh maydonchada urinma kuchlanishlar nolga teng ekanligidan foydalanib, (4.13. a-rasm) . 0 , 0 31 23 3 33 (2.73) 42 Yuqoridagi (2.71) va (2.72) formulalardan foydalanib, normali 1 ох o‘qi bilan burchak tashkil etuvchi qiya tekislikdagi normal va urinma kuchlanishlarni aniqlaymiz. Qaralayotgan maydonchaning n normali va urinmasining yo’naltiruvchi kosinuslarini aniqlaymiz: . 0 ; cos ; sin 90 cos ; 0 ; sin 90 cos ; cos 1 1 0 1 0 n m n m Bu miqdorlarni va (2.73) tengliklarni (2.71) va (2.72) ifodalarga qoyamiz, natijada izlanayotgan kuchlanishlar uchun . 2 cos 2 sin 2 1 sin cos 2 sin 2 1 2 sin 2 1 ; 2 sin sin cos 12 22 11 2 2 12 22 11 12 2 22 2 11 n nn (2.74) Ushbu formulalarni 4.13. b)-rasmda tasvurlangan element uchun hamma kuchlarning n va lar yo‘nalish-ga proeksiyalari yig‘indisi tenglamalarini tuzib chiqarish ham mumkin. Normali ning yo‘nalishi bilan, urinmasi esa n ning yo‘nalishi bilan ustma-ust tushuvchi maydonchadagi kuchlanishlarni aniqlaymiz (4.13, c-rasm). Bu maydoncha yuqorida qaralgan maydonchaga perpendikular. Ko‘rinib turibdiki bu holda (2.72) va (2.73) formulalarda ni 1 bilan, m ni 1 m bilan va teskari almashtirish zarur. Natijada . ; 2 sin cos sin 12 2 22 2 11 n n (2.75) Oxirgi tenglikurinma kuchlanishlarning juftligini ifodalaydi. Agar nn va larning ifodalarini qo‘shsak 22 11 nn (2.76) Shunday qilib ikki o‘qli kuchlanganlik holatida ikkita o‘zaro perpendikulyar maydonchalarda ta’sir qiluvchi normal kuchlanishlar yig‘indisi invariant kattalikdir va koordinat sistemasining tanlanishiga bog‘liq emas. Ikki o‘qli kuchlanganlik holatida mavjud ikkita bosh kuchlanishlarni aniqlash uchun (2.65) tenglamadan 0 3 I ni hisobga olgan holda foydalanamiz. Bu tenglama 0 2 1 2 I I (2.77) x 2 x 2 a) b) n 21 11 x 1 x 1 12 12 12 22 22 x 2 n c) 21 x 1 2.13-rasm. 11 12 22 o o o nn n n nn 43 kvadrat tenglamaga keltiriladi. Bu tenglamaga kiruvchi I 1 va I 2 invariantlar (2.66) va (2.73) formulalarga asosan 2 12 11 2 22 11 1 ; I I ifodalarga teng bo‘ladi. Bu qiymatlarni (2.77) ga qo‘yib va uni yechib bosh kuchlanishlarning 2 12 22 11 22 11 2 , 2 2 (2.78) qiymatlarini topamiz. Ikki o‘qli kuchlanganlik holatida bosh maydonchalarning vaziyatini (2.68) formulalardan topish qulay. Qaralayotgan hol uchun bu sistema quyidagi ko‘rinish-ni oladi . 0 ; 0 22 12 12 11 m m Ushbu tenglamalardan faqat bittasi mustaqildir. Masalan ikkinchi tenglamadan foydalanamiz. sin , cos m ekanliklarini e‘tiborga olgan holda ikkinchi tenglamadagi ning o‘rniga navbati bilan 1 va 2 larning qiymatlarini qoyib bosh maydonchalarning 1 ox o‘qiga oq‘ish burchaklari 1 va 1 larni topamiz: . ; 22 2 12 2 22 1 12 1 tg tg (2.79) Bosh maydonchalardagi urinma kuchlanishlarning nolga tengligidan foydalanib (2.74) ning ikkinchi tenglamasida 0 n deb hisoblab 22 11 12 2 2 tg (2.80) formulaga ega bo‘lamiz. Bu (2.79) ning analogidan iborat formuladir. Quyida yana ikki xususiy holni qaraymiz. 1) Sof siljish. Agar ikki o‘zaro perpendikulyar maydonchalarda faqat urinma kuchlanishlar ta‘sir qiladigan kuchlangan holati sof siljish deyiladi (4.14. a-rasm). Olingan (2.78) formulada 12 22 11 , 0 deb hisoblasak 2 1 , larga ega bo‘lamiz. Ana shu 1 va 2 larni bilan holda (2.79) dan bosh maydonchalarning oq‘ish burchaklarini topamiz: . 45 ; 45 ; 1 ; 1 0 2 0 1 2 1 tg tg Shunday qilib, sof siljish qiymatlari teng, lekin ishoralari qarama-qarshi bo‘lgan ikkita 2 1 , bosh kuchlanishlarning kombinasiyasiga (majmunasiga) ekvivalentdir (2.14. b- rasm) Sof siljish maydonchalari bosh maydonchalarga nusbatan 0 45 burchak ostida og‘ganlar. 2) Bir o‘qli kuchlanganlik holati. Bunday kuchlanganlik holati bosh kuchlanishlardan faqat bittasiga noldan fatqli bo‘lgan o‘rinli bo‘ladi (4.15-rasm). Agar bu holda 0 33 22 va bosh maydonchada urinma kuchlanish nolga teng ekanligini hisobga olsak qiya maydonchalardagi kuchlanishlar uchun formulalarni (2.74) tenglik oson ) ( 1 11 : . 2 sin 2 ; cos 1 2 1 n nn Bu formulalardagi -qiya maydonchaning n normali bilan 1 -bosh kuchlanishning ta‘sir yo‘nalishi orasidagi burchak. x 2 n nn 1 x 1 n 2.15-rasm. a) x 2 b) x 2 2 1 1 o x 1 o 45 0 x 1 2 2.14-rasm. |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling