Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat
Elastiklik nazariyasining boshlang’ich talablari va gipotezalari
Download 1.83 Mb. Pdf ko'rish
|
Elastiklik nazariyasi
Elastiklik nazariyasining boshlang’ich talablari va gipotezalari Elastiklik nazariyasi har qanday talablar va gipotezalardan ozod desak to’g’ri bo’lmas edi. Elastiklik nazariyasida jismlar atomlarning murakkab tuzilishidan tashkil topganligi hisobga olinmaydi. Murakkab strukturali haqiqiy jism, bir jinsli jism bilan almashtiriladi. Elastiklik nazariyasida Sen-Venan prinsipi keng qo’llaniladi. Sen-Venanning prinsipiga asosan tashqi yuk qo’yilgan yeridan ma’lum uzoqlikdagi nuqtalarda kuchlanish yukning qanday qo’yilganiga yoki tabiatiga bog’liq emas. Elastiklik nazariyasining talablaridan yana biri, bu elastik jismning tutashligi haqidagi farazdir. Bu holda elastik jism hajmi bo’ylab uzluksiz deb tasavvur etiladi. Elastiklik nazariyasida deformasiyalanuvchi jism sof elastik deb hisoblanadi, ya’ni tashqi yuk olingandan so’ng jism o’zining boshlang’ich holatiga to’liq qaytadi deb tasavvur etiladi. Elastiklik nazariyasining barcha amallari kuchlanish bilan deformasiya orasidagi to’g’ri proporsionallikka, ya’ni Guk qonuniga asoslangan. Shuni ta’kidlab o’tish lozimki, umuman olganda kuchlanish bilan deformasiya orasidagi o’zaro bog’lanish to’g’ri proporsional emas. Lekin kichik kuchlanish va kichik deformasiya holatlarida ular orasidagi bog’lanishni chiziqli, ya’ni to’g’ri proporsional deb olinsa, katta xatoga yo’l qo’yilmaydi. Elastiklik nazariyasida qaralayotgan jism sof bir jinsli, ya’ni jismning istalgan nuqtasining ma’lum yo’nalishlar bo’yicha fizik xususiyatlari bir xil deb tasavvur etiladi. Elastik jism bir xil xususiyatli (izotropnыy) va har xil xususiyatli (anizotropnыy) bo’lishi mumkin. Bir xil xususiyatli elastik jism deb shunday jismga aytiladiki, bu jism istalgan nuqtasining elastiklik xususiyatlari barcha yo’nalishlarida bir xil bo’ladi. Ќar xil xususiyatli elastik jism deb shunday jismga aytiladiki, bu jismning elastiklik xususiyatlari barcha nuqtalarda bir xil bo’lib yo’nalishlar bo’yicha har xil bo’ladi. Biz elastiklik nazariyasi kursida bir xil xususiyatli (izotropnыy) va bir jinsli (odnorodnыy) jismlar bilan ish ko’ramiz. Elastik jism deformasiyalanganda nuqtalarining ko’chishi jism o’lchamlariga nisbatan juda kichik deb qabul qilinadi. Ms Bulardan boshqa fan rivojiga o’z hissasini qo’shgan yana qaysi olimlarni bilasiz? Mv Sharq va G’arb olimlarining elastiklik nazariyasi faniga qo’shgan hissalari to’g’risida to’laroq ma’lumotga qanday ega bo’lish mumkin? 2. Asosiy farazlar. Tashqi kuchlar. Kuchlanish vektori Kirish qismida ta’kidlan elastiklik klassik nazariyasi jismning sanab o‘tilgan oltita xususiyatga ega bo‘lishini talab qiladi. Ushbu xususiyatlardan birinchisi tutashlik farazidir, ya’ni deformatsuyaga tutash bo‘lgan jism deformatsi-yadan keyin ham tutashligicha qolishi kerak. Bunda jismning istalgan bo‘lagi, shu jumladan, juda kichik zarrachasi ham bo‘shliqlar va uzilishlarga ega emas. Tutashlik farazi ko‘chishlar va deformatsiyalarni koordinatalarning uzluksiz funksiyasi sifatida qarashga imkon beradi va ularni tekshirish uchun matematikaning uzluksiz funksiyalar apparatini qo‘llash mumkin bo‘ladi. 18 Elastik jism ideal-elastik yoki boshqacha aytganda to‘liq elastik deb qabul qilinadi. Ideal- elastiklik deganda jismning unda qo‘yilgan tashqi kuchlar olib tashlangandan keyin o‘zining boshlang‘ich shakli va hajmini to‘liq tiklash xususiyati tushuniladi. Jismning boshlang‘ich yoki tabiiy holati deb unung tashqi yuklar bo‘lmaganda unda hech qanday kuchlanishlar paydo bo‘lmasligi tushuniladi. Jismning boshlang‘ich holati uning oldindan kuchlanganlik holatini istisno qiladi. Chunki juda ko‘p hollarda oldindan kuchlanganlik holatini xarakterlovchi boshlang‘ich kuchlanishlarning miqdori va tabiati noaniq bo‘lib, jismning paydo bo‘lish tarixidan bog‘liq. Jism ideal-elastik bo‘lsa, deformatsiyalar va kuchla-nishlar orasidagi bog‘lanishlar chiziqli deb faraz qilinadi. Shunday qilinganda kuchlanishlar va deformatsiyalar orasida temperaturaning har bir qiymati uchun hamda vaqtga bog‘liq bo‘lmagan o‘zaro bir qiymatli mostik o‘rnatiladi. Elastik jism yetarli darajada bikrlikka ega deb faraz qilinadi. Boshqacha aytganda jism nuqtalarining ko‘chishlari uning chiziqli o‘lchamlariga nisbatan kichik, nisbiy uzayishlar (qisqarishlar) va siljish burchaklari birga nisbatan ancha kichik bo‘lishi talab etiladi. Xuddi ana shu talab hamda kuchlanishlar va deformatsiyalar orasidagi bog‘lanishning chiziqliligi kuchlar ta’sirlarining mustaqilligi prinsipini qo‘llashga imkon yaratadi. Ma’lumki, bu prinsip jismga ta’sir qiluvchi kuchlar sistemasining ta’sirini sistemaga kiruvchi kuchlarning har birining alohida ta’sirlari yig‘indisi sifatida hisoblashga imkon beradi. Ideal-elastik jism bir jinsli bo‘lishi kerak. Bu bir xil kuchlanishlar ta’sirida jismning hamma nuqtalarida bir xil deformatsiyalar vujudga keladi degan so‘dir. Boshqacha aytganda bir jinslilik jismning elastik xossalarini xarakterlovchi kattaliklarni uning butun hajmi bo‘yicha o‘zgarmas deb hisoblashni taqozo etadi. Nihoyat elastik jismning izotrop xossaga ega bo‘lishi talab etiladi. Jism izotrop bo‘lsa uning elastik xossalari hamma yo‘nalishlar bo‘yicha bir xil bo‘ladi. Tabiatdagi mavjud jismlar qaralayotgan modeldan u yoki bu darajada farq qiladi. Shuning uchun ham elastiklik nazariyasidga olinadigan yechimlarning aniqligi qaralayotgan jismning qanchalik darajada ideal-elastik, tutash, bir jinsli va izotrop bo‘lishiga bog‘liq. Elastiklik nazariyasidagi asosiy tushunchalardan biri kuch tushunchasidir. Nazariy mexanika kursidan ma’lumki, kuch bir jismning boshqa jismga ta’sirining miqdor o‘lchovidir. Kuchlar jismga nisbatan ichki va tashqi kuchlardan iborat bo‘ladi. Bizni asosan tashqi kuchlar qiziqtiradi. Chunki tutashlik gipotezasi modda-ning atom strukturasini va molekulyar harakatini e’tiborga olmaslikka imkon beradi. Ichki kuchlarni esa molekulalarning o‘zaro ta’sir kuchlari vujudga keltirishi ma’lum. Shunday qilib faqat jismga ta’sir qiluvchi tashqi kuchlarnigina qaraymiz. Qattiq jismga ta’sir qiluvchi tashqi kuchlarni ikki guruhga bo‘lish mumkin: sirt kuchlari va hajmiy kuchlar. 1.Sirt kuchlari bir jismning boshqa jism bilan to‘qnashishi, urinishi yoki umuman kontaktda bo‘lishi natijasida yuzaga keladi. Bunday kuchlar jismning sirti bo‘yicha taqsimlangan bo‘ladi. Masalan, shamolning bino devoriga ko‘rsatadigan bosim kuchi, tongda yoqqan qorning og‘irlik kuchi, mashinaning yerga bosim kuchi va h.k. Sirt kuchlari ular taqsimlangan sirtning birlik yuzasiga to‘g‘ri keladigan kuch qiymati bilan xarakterlanadi.Ushbu kattalik kuch intensivligi deb ataladi. Agar kuch ta’sir qilayotgan yuzaning o‘lchamlari jismning o‘zining o‘lchamlariga nisbatan kichik bo‘lsa, bunday yuzani hisobga olmaslik va kuchni nuqtaga qo‘yilgan deb hisoblash mumkin. n Q 1 q S ds 1 Q V 2 Q 3 Q 2.1-rasm. 19 Bu holda kuch to‘plangan kuch deyiladi. Faraz qilaylik, hajmi va shu haj-mini o’rab turgan sirti bo‘lgan jismga ta’sir qilayotgan kuchlarning intensivlik vektori bo‘lsin (2.1-rasm). U holda ds yuzali elementar sirtga ga teng bo‘lgan sirt kuchi ta’sir etadi. 2. Hajmiy (massaviy) kuchlar deb, jism hajmining hamma bo‘lakchalariga ta’sir qiluvchi kuchlarga aytiladi, masalan og‘irlik kuchi, energiya kuchi. Faraz qilaylik, i x f - jismning i x M nuqtasi atrofidagi massa birligiga to‘g‘ri keladigan massaviy kuch bo‘lsin (2.2-rasm) va m jism hajmining massasi bo‘lsin. Ma’lumki, u holda, v d m bu yerda -jismning zichligi. U holda jismning elementer hajmiga ta’sir etuvchi massaviy kuch i i F x f m ga teng bo‘ladi. Bu yerdan jismning birlik hajmiga ta’sir etuvchi hajmiy kuchni topish qiyin emas. Odatda jism zarrachalariga ta’sir etuvchi hajmiy kuchlarning geometrik yig‘indisi yoki bosh vektori hajmiy kuch deb qaraladi, ya’ni ) ( i x f F Tashqi kuchlar natijasida jism deformatsiyalanadi, ya’ni uning zarrachalarining o‘zaro joylashuvi o‘zgaradi. Natijada zarrachalar o‘rtasi-da jismni boshlang‘ich holatiga qaytarishga intiluvchi qo‘shim-cha ichki kuchlar paydo bo‘la-di. Ana shu i chki uchlarni aniqlash uchun kesin metodidan foydalanadilar. Jismning biror ) ( i x M nuqtasidan o‘tuvchi P silliq sirt bilan uni fikran ikkiga ajratamiz (2.3-rasm). Hosil qilingan bo‘laklarning sirtlarini 1 S va 2 S bilan, hajmlarini esa 1 V va 2 V bilan belgilaymiz. P kesuvchi sirtning ikki tomonida joylashgan zarrachalarning o‘zaro ta’sir kuchlari jism bo‘linganiga qadar ichki kuchlardan iborat edi. Jism bo‘linganidan keyin uning bo‘laklari xuddi bo’linishga qadar bo’lgani kabi muvozanatda bo‘lishlari uchun bu kuchlar ularning P sirtlarida qo‘yilishi kerak. P sirtning birinchi bo‘lak uchun normalini n bilan belgilaymiz (2.4-rasm). U holda bu sirtning jismi ikkinchi bo‘lagidagi nor-mali - n dan iborat bo‘ladi. Endi birinchi bo‘lakning sirti P S 1 dan, ikkinchi bo’laknini esa P S 2 dan iborat bo‘ladi. Birinchi bo‘lakning sirtida (P kesuvchi sirt yuzasida) yuzasi S bo‘lgan va o‘zida ) ( i x M nuqtani saqlagan elementar maydonchani olib qaraymiz. Ushbu maydonchadagi sirt kuchlarining bosh vektori va bosh momentini mos ravishda Q va M lar bilan belgilaymiz. Normali n bo‘lgan maydonchadagi ) ( i x M jism nuqtasidagi kuchlanish vektori deb . lim lim 0 0 0 S M q d S n S ds Q S Q (2.1) tenglik bilan aniqlanuvchi n q vektori aytiladi. Ushbu tenglik kuchlanish vektorining kuch intensivligidan boshqa narsa emasligini ko‘rsatadi. Shunday qilib, ichki kuchlar intensivligi kuchlanish deyiladi. Demak, jismning birinchi bo‘lagi uning ikkinchi bo‘lagiga ds q n sirt kuchi bilan n Q 1 Q P V 2 n S 2 2 Q M(x i ) 4 Q V S 1 3 Q 2.3-rasm. V 2 n P M(x i ) V 1 ds n 1 Q P ds q n 2 Q V 1 S 1 3 Q 2.4-rasm. M(x i ) . v v v i i i x f d x f d d F 20 ta’sir etadi. U holda ta’sir va aks-ta’sirlarning tengligi prinsipiga asosan ikkinchi bo‘lak ham birinchi bo‘lakka ds q ds q n n kuch bilan ta’sir etadi. Bu yerdan n n q q ekanligi kelib chiqadi. Jismni kesuvchi P sirtni biz ixtiyoriy tanladik, unda faqat ) ( i x M nuqtadan o‘tish shartinigina qo‘ydik. Shu- ning uchun n q kuchlanish vektori kesuvchi sirt ko‘rinishiga bo‘gliq bo‘lmaydi. Jismning biror nuqtasidan o‘tuvchi har xil maydonchalarda kuchlanish vektorlari ) , ( n х q q i n n lar har xil bo‘ladi. Qaralayotgan nuqtadan o‘tuvchi mumkin bo‘lgan hamma maydonchalardagi kuchlanish vektorlarining to‘plami shu nuqtadagi kuchlanganlik holatini aniqlaydi. Jism hamma nuqtalaridagi kuchlanganlik holatlarining majmuasi jismning kuchlanganlik holati deyiladi. 2. Jism nuqtasidagi kuchlanganlik holati. Kuchlanish tenzori. Deformatsiyalangan qattiq jismning vaziyati n vektor bilan aniqlanuvchi biror ixtiyoriy maydonchasida yotuvchi ) ( i x M nuqtasining kuchlanganlik holatini aniqlaymiz. Buning uchun jismdan uchta yog‘i koordinat tekisliklaridan iborat to‘rtinchi yo‘g‘ining normali n bo‘lgan va o‘lchamlari cheksiz kichik bo‘lgan tetraedr ko‘rinishidagi elementar hajmni ajratamiz (2.5-rasm). 3 2 1 х х х dekart ko-ordinatalari sistemasi oqlarining bazis vektorlarini i э lar bilan, n vektorining yo‘naltiruv-chi kosinuslarini i n lar bilan, ya’ni . 3 , 2 , 1 ), ,€ cos( i n x n i i kabi belgilaymiz. Tetraedrning koordinat tekisliklari bilan ustma-ust tushuvchi yoqlarini unda perpendikular bo‘lgan koordanat o‘qining raqami bilan belgilaymiz: 1 ds bilan 1 x o‘qiga perpendikular bo‘lgan yoqning yuzasi, 2 ds va 3 ds lar bilan 2 x va 3 x o‘qlariga perpendikulyar bo‘lgan yqlarning yuzalari belgilanadi, ds bilan esa n normalga perpendikular bo‘lgan to‘rtinchi yoqning yuzasi belgilanadi. U holda geometriya kursidan ma’lumki, ds n ds i i (2.2) tenglik o‘rinli bo‘ladi. Elementning yoqlariga sirt kuchlaridan tashqari hajmiy ham ta’sir qiladi. Ammo bizni nuqtaning kuchlanganlik holati qiziqtirganligi uchun tetraedr hajmini cheksiz kichraytiramiz. Bu holda hajmiy kuchlar ham nolga intiladi va pirovardida tetraedr nuqtaga intilganda bu kuchlar nolda aylanadi. Shuning uchun ham hajmiy kuchlarni hisobga olmaymiz. Tashqi sirt kuchlari ta’siri ostidagi qaralayotgan element muvozanat holatida bo‘ladi. U holda tashqi kuchlarning bosh vektori nolga teng bo‘lishi kerak, ya’ni 0 3 3 2 2 1 1 ds q ds q ds q ds q n (2.3) tenglik bajariladi. Agar (2.1) va (2.2) ifodalarni (2.3) tenglikka qo‘ysak hamda takrorlanuvchi indekslar bo‘yicha yig‘indi hisoblanishini esga olsak (“gung” indeksning xossasi), (2.3) tenglikdan i i n n q q (2.4) ifodaga ega bo‘lamiz. x 3 A 3 ds q n n 1 1 ds q 2 2 ds q M A 2 x 2 A 1 3 3 ds q x 1 2.5-rasm. 21 Bu tenglik jismning м nuqtasidan o‘tuvchi normali n bo‘lgan ixtiyoriy maydonchadagi n q kuchlanish vektorini, koordinat tekisliklaridagi va har biri м nuqtadan o'tuvchi uchta koordinat tekisliklaridagi i q kuchlanish vektorlari orqali to‘liq aniqlanishini ko‘rsatadi. Endi har qanday vektorni bazis vektorlari bo‘yicha yoyish mumkinligidan foydalanib, i q va n q kuchlanish vektorlarini j э bazis vektorlari orqali quyidagicha yozamiz: , ; j nj n j ij i э q q э q (2.5) bu yerda ) 3 , 1 ( j ij kattaliklar i q vektorining koordinat o‘qlaridagi proyeksiyalari yoki i - chi koordinat tekisligidagi kuchlanish vektorining komponentalari; nj q -ixtiyoriy maydonchadagi n q kuchlanish vektorining komponentalari. Umuman uchta koordinat tekisliklaridagi ) 3 , 2 , 1 ( i q i uchta kuchlanish vektorlarining to‘qqizta ) 3 , 2 , 1 , ( j i ij komponentasi bundan keyingi amaliyotimizda muhim rol o‘ynaydi. Endi (2.5) ning birinchi ifodasini (2.4) ga qo‘yib j i ij i j ij i i n э n n э n q q formulaga ega bo‘lamiz. Olingan ifodani (2.5) ifodalardan ikkinchisining chap tomoniga qo‘yamiz: j i ij j nj э n э q va vektorlarning tengligi shartidan i ij nj n q (2.6) ifodani hosil qilamiz. Bundan ko‘rinadiki, uchta i q vektorlarining to‘qqizta ij komponentalari ikkinchi rang tenzorning komponentalarini tashkil etadi. Ushbu tenzor kuchlanish tenzori deb ataladi va T bilan belgilanadi. Bu tenzorni matritsa ko‘rinishida quyidagicha yozish qabul qilingan: 33 32 31 23 22 21 13 12 11 Т yoki ) ( ij T (2.7) kuchlanish tenzori ij komponentalarining birinchi indeksi i q kuchlanish vektori maydonchasiga perpendikular bo‘lgan i х koordinat o‘qining indeksiga to‘g‘ri keladi, ya’ni birinchi indeks tenzorning shu komponentasi i х o‘qqa perpendikular tekislikda ta’sir qilishini ko‘rsatadi. Ikkinchi indeks esa ij komponentaning j х koordinat o‘qi yo‘nalishida ta’sir qilishini ko‘rsatadi. Masalan: 23 komponenta 2 x o‘qiga perpendikular bo‘lgan 3 1 ox x tekisligiga parallel tekisligida 3 x o’q yo‘nalishi bo‘ylab ta’sir qiladi, 11 komponenta 1 x ga perpendikular 3 2 0x x tekisligida 1 x yo‘nalishda ta’sir qiladi. Shuning uchun ham (2.7) matritsaning koordinat o‘qlari bo‘ylab yo‘nalgan ii ( i bo’ycha yigindi olimmasin) elementlari yoki 33 22 11 , , lar-koordinat tekislikkaridagi normal kuchlanishlar yoki T kuchlanish tenzorining normal komponntalari deyiladi. Matritsaning qolgan ) ( j i ij elementlari koordinat tekisliklaridagi urinma kuchlanishlar yoki T kuchlanish tenzorining urinma komponentalari deyiladi. Shunday qilib, kuchlanish tenzorining komponentalari berilgan nuqtada va normal kuchlanishlardan iboratdir. Demak, kuchlanish tenzorining ij komponentalari jismning berilgan nuiqtasidagi kuchlanganlik holatini to‘liq aniqlaydi. Boshqacha aytganda, T tenzori ma’lum bolsa, qaralayotgan nuqtadan o‘tuvchi istalgan maydonchada n q kuchlanish vektorining proyeksiyalarini aniqlash (2.6) formula yordamida oson hal qilinadi: 22 , , , 3 33 2 23 1 13 3 3 32 2 22 1 12 2 3 31 2 21 1 11 1 n n n q n n n q n n n q n n n (2.8) Agar qaralayotgan maydoncha jismni o‘rtab turuvchi sirti bilan ustma-ust tushsa yoki uning biror qismi bo‘lsa, n q kuchlanmish tenzorining ) 3 , 2 , 1 ( i q ni tuzuvchilari jism sirtida ta’sir qilayotgan tashqi sirt kuchlarining tuzuvchilaridan ibort bo‘ladi. U holda (2.8) tenglamalarni jism sirtidagi shartlar deb ataydilar. Ular tashqi kuchlarni ichkilari bilan bog‘laydi. Shu o‘rinda ta’kidlash lozimki, jism nuqtasidagi kuchlanganlik holatini shu nuqta atrofida koordinat o‘qlariga perpendikular bo‘lgan tekisliklar bilan tasvirlash uchun, yoqlari koordinat o‘qlariga parallel bo‘lgan va qirralari nolga intiluvchi parallelepipeddan iborat elementar hajmni alohida qaraydilar. Bunda har bir yoqqa unga mos keluvchi kuchlanishlarning ta’sirlari strelkalar bilan tasvirlanadi (2.6-rasm). Rasmda 3 2 1 х х х Dekart koordinatalari sistemasida 2.6. a)-rasm va odatdagi belgilashlar 2.6. b)-rasm joylashtirilgan parallelepiped tasvirlangan. Elastiklik nazariyasi masalalarini yechishda Dekart koordinatalari sistemasidan boshqa koordinat sistemalaridan ham, xususan, silindrik va sferik koordinatalar sistemalaridan foydalanadilar. Silindrlik ) , , ( z r va sferik ) , , ( koordinatalar sistemalarida T kuchlanish tenzori quyidagi ko‘rinishlarga ega: . , T T zz z zr z r rz r rr Ushbu koordinat sistemalarida kuchlanish tenzori 2.7-rasmdagi kabi tasvirlanadi. Download 1.83 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling