Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

3. Koordinat o‘qlarini burganda kuchlanish tenzori komponentalarini almashtirish. 
 
Faraz qilaylik yevklid fazosida 
3
2
1
х
х
oх
 ortogonal Dekart 
1
х  koordinatalari sistemasi va uning 
i
э

-ortonormal  bazisi  hamda  o‘qlari   
3
2
1
х
х
oх
  sistemaning  o‘qlariga  nisbatan  biror  burchakka 
burilgan 
3
2
1
х
х
х
o



 ortogonal koordinatalar sistemasi va uning 
i
э

 ortonormal bazasi berilgan bo‘lsin 
(2.8-rasm). 
Yangi 
i
х
o    o‘qi  bilan  eski 
j
oх
  o‘qlari  orasidagi  burchak  kosinusini 
ij
   bilan  belgilaymiz. 
Ma’lumki, ushbu kosinus 
i
э

 va 
j
э

 bazis vektorlarining skalyar ko‘paytmasiga teng bo‘ladi, ya’ni  

ij

i
э


j
э

 
chunki  




ij
j
i
j
i
j
i
j
i
x
x
x
x
э
э
э
э










,
cos
,
cos




 
1




j
i
э
э


 
 
                 
x
3                                                                  
z 
     a)          
33
                              b)         
zz
   
         
31
      
32
     
23
                    
zx
      
zy
      
yz
  
        
13
                      
22
              
xz
                      
yy
      
             o
12
    
21
        x
2
                    o
xy
    
yx
        y 
        
11
                                          
xx
      
 x
1                                                                  
x   
                                      2.6-rasm.                                                   

 
23
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qaralayotgan 
ij
   kosinus 
i
э

  birlik  vektorining 
j
э

  birlik  vektori  yo‘nalishi-dagi 
proyeksiyasiga  va  ikkinchi  tomondan 
ij
ji



  bo‘lgani  sababli 
j
э

  birlik  vektorining
i
э

  birlik 
vektori yo‘nalishidagi proyeksiyasiga teng bo‘lgani uchun 
i
э

 birlik vektorining  
eski 
j
э

 bazis bo‘yicha yoyilmasi 
j
ij
i
i
i
i
э
э
э
э
э













3
3
2
2
1
1
                                           (2.9) 
ko‘rinishga ega boladi. Aksincha 
j
э

 vektorining yangi 
i
э

 bazisdagi yoyilmasi 
i
ji
j
j
j
j
э
э
э
э
э

















3
3
2
2
1
1
                                        (2.10) 
Yuqoridagi  (2.9)  formuladagi 
ij
   koeffitsientlar  bir  ortonormal  bazisdan  ikkinchisiga  o‘tish 
matritsasini tashkil etadi. Ushbu matritsa ortogonal bo‘lishini ko‘rish qiyin emas, buning uchun  
 
 
T
ij
ij



1
 
tenglikni tekshirib ko‘rish yetarli. Bu yerda 
 
1

ij

 - teskari 
 
T
ij

 - transpokirlangan matritsa. 
Ortogonal matritsa elementlari quyidagi shartlarni qanoatlantiradi: 
ij
jk
ik




va  
j
i
j
i
ij
ij
kj
ki




,
0
,
1
,




                                             (2.11) 
va orthogonal matrisa determinant 
1


ij

 
bu yerda musbat ishora  
i
э

 va 
j
э

 bazis vektorlari bir xil chap yoki o‘ng sistemalar bo‘lsa qo‘yiladi, 
agar ular har xil sistemalar bo‘lsa, ya’ni ulardan biri chap, ikkinchisi o‘ng sistemalar bo‘lsa  manfiy 
ishora qo‘yiladi. 
Endi ixtiyoriy 
а

 vektori komponentalarini almashtirish formulasini chiqarish qiyin emas: 
j
j
i
i
э
a
э
а
а







 
lekin (2.10) ga asosan 
i
ij
j
i
ji
j
i
i
э
a
э
a
э
a












 
bundan 
ij
j
i
a
a



                           (2.12) 
Ushbu  formula  eski  koordinat  sistemasidan  yangisiga  o‘tishda  vektor  komponentalarini 
almashtirish  formulasidir.  Xuddi  shunday  yangi  koordinat  sistemasidan  eskisiga  o‘tishda  vektor 
komponentalarini almashtirish formulasini ham topish qiyin emas. Haqiqatan (2.9) ga asosan 
,
j
ij
i
j
i
j
j
э
a
э
a
э
а










  ya’ni 
i
ij
j
a
a



                                  (2.13) 
Endi  qaralayotgan  koordinat  sistemalarida  kuchlanish  tenzorining  komponentalarini 
almashtirish formulasini chiqaramiz. 

Т  ning eski koordinat sistemasidagi komponentalarini 
ij
  lar 
bilan.  Yangi  koordinat  sistemasida  esa 
rs
  lar  bilan  belgilaymiz.  U  holda  tenzorning  invariant 
ob‘yektligidan foydalanib 
 
3
x
          x
3
 
2
x
 
 
3
э

   
3
э

      
2
э

 
o 
1
э

     
1
э

 
2
э

         x
2 
 
x
1
   
1
x
 
2.8-rasm. 

 
24
s
r
rs
j
i
ij
э
э
э
э










 
ekanligini ko‘rish qiyin emas. Ushbu ifodaning chap qismiga (2.10) ni ikki marta qo‘llab 
s
r
ij
sj
ri
s
js
r
ri
ij
j
i
ij
s
r
rs
э
э
э
э
э
э
э
э






























 
tenglikka ega bo‘lamiz. Bundan izlanayotgan 
ij
sj
ri
rs








                                                          (2.14) 
formulaga ega bo‘lamiz. 
Burilgan  o‘qlarning  yo‘naltiruvchi 
ri
 va 
sj
 kosinuslari  uchun  ko‘p  ishlatiladigan  quyidagi  2.1.-
jadvaldagi  belgilashlarini kiritamiz. 
Yuqoridagi  (2.14)  qonu-niyatdan  foydalanib  kuchlanish  tenzori  komponentalarini  koordinat 
o‘qlarini burganda almashtirish formulalarini yoyib yozamiz.       Bunda  
yo‘naltiruvchi kosinuslarning (2.11) xossalaridan hamda 2.1-jadvaldan foydalanamiz: 
;
2
2
2
1
1
31
1
1
23
1
1
12
2
1
33
2
1
22
2
1
11
11



n
n
m
m
n
m














;
2
2
2
2
2
31
2
2
23
2
2
12
2
2
33
2
2
22
2
2
11
22



n
n
m
m
n
m














;
2
2
2
3
3
31
3
3
23
3
3
12
2
3
33
2
3
22
2
3
11
33



n
n
m
m
n
m














);
(
)
(
(
1
2
2
1
31
1
2
2
1
23
2
2
2
1
12
2
1
33
2
1
22
2
1
11
12






n
n
n
m
n
m
m
m
n
n
m
m


















 
);
(
)
(
(
2
3
3
2
31
2
3
3
2
23
2
3
3
2
12
3
2
33
3
2
22
3
2
11
23






n
n
n
m
n
m
m
m
n
n
m
m


















                                  (2.15) 
);
(
)
(
(
3
1
1
3
31
3
1
1
3
23
3
1
1
3
12
1
3
33
1
3
22
1
3
11
31






n
n
n
m
n
m
m
m
n
n
m
m


















 
Koordinat o‘qlari  ixtiyoriy ravishda  burilishi  mumkin  bo‘lganligidan (2.15) formulalar  normal 
ii
  
(I  bo‘yicha  yig‘indi  olinmasin)  va  urinma 


j
i
ij


  kuchlanishlarni  jismning  qaralayotgan 
nuqtasidan o‘tuvchi istalgan maydonchada hisoblash imkoniyatini beradi. 
Yangi 
3
2
1
x
x
x
о



  koordinat  sistemasidan  eski 
3
2
1
x
x
x
о



  koordinat  sistemasiga  qayta  o‘tish  formulasi 
quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi: 
;
2
2
2
1
3
31
3
2
23
2
1
12
2
3
33
2
2
22
2
1
11
11




























 
;
2
2
2
1
3
31
3
2
23
2
1
12
2
3
33
2
2
22
2
1
11
22
m
m
m
m
m
m
m
m
m



















;
2
2
2
1
3
31
3
2
23
2
1
12
2
3
33
2
2
22
2
1
11
33
n
n
n
n
n
n
n
n
n



















 
);
(
)
(
(
3
1
1
3
31
2
3
3
2
23
2
2
2
1
12
3
3
33
2
2
22
1
1
11
12
m
m
m
m
m
m
m
m
m
































 
);
(
)
(
)
(
3
1
1
3
31
2
3
3
2
23
1
2
2
1
12
3
3
33
2
2
22
1
1
11
23
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m























                                 (2.16) 
).
(
)
(
)
(
3
1
1
3
31
2
3
3
2
23
1
3
3
1
12
3
3
33
2
2
22
1
1
11
31









n
n
n
n
n
n
n
n
n























 
Ushbu o‘tish formulasining tenzori ko‘rinishi 
sj
ri
rs
ij







                                                                     (2.17) 
kabi yoziladi. 
Agar  (2.14)  bilan  (2.15)  hamda  (2.17)  bilan  (2.16)  formulalari  solishtirilganda  tenzor  tilidagi 
yozuvning  afzalliklari  yaqqol  namoyon  bo‘ladi.  Chunki  qariyb  yarim  sahifalik  (2.15)  yoki  (2.16) 
formulalarni juda qisqa (2.14) yoki (2.15) ko‘rinishida yozish mumkin bo‘ladi. 
 
Bosh kuchlanishlar. Kuchlanish tenzori invariantlari. Kuchlanishlarning deviatori va 
sharsimon tenzori. 

 
25
Yuqorida  qattiq  jismning  normali 
n

  bo’lgan  ixtiyoriy  qiya  tekisligidagi 
n
q

  kuchlanish 
vektorini  koordinat  tekisliklaridagi  uchta 
)
3
,
2
,
1
( 
i
q
i

  kuchlanish  vektori  (2.4)  ufoda  orqali 
ifodaladik va bu vektorlar 

Т  kuchlanish tenzorining  
ij
  komponentalari (2.5) formula yordamida 
j
ij
i
э
q





                                                                        (2.18) 
 
 
 
 
 
 
 
 
kabi ifodalandilar. 
Ikkinchi  tomondan  normal 
n

  bo’lga  ixtiyoriy  maydonchadagi 
n
q

  vektori 
nn
q

-normal  va 

n
q

-
urinma kuchlanish vektorlarining geometric (2.9-rasm) yigindisi sifatida tasvirlanadi, ya’ni   

n
nn
n
q
q
q





 
Urinma  kuchlanishlar  nolda  teng  bo’lgan  maydonchalar  bosh  maydonchalar  deyiladi.  Bosh 
maydonchalardagi  kuchlanishlar bosh kuchlanishlar deyiladi  va ularning  yo’nalishlari   kuchlanish  
ten- 
zorining bosh yo’nalishlari deyiladi va ular doimo uchta bo’ladilar. 
Yuqoridagi  formuladan  ko’rinadiki  bosh  maydonchalarda 
nn
n
q
q



,  ya’ni  kuchlanish  vektori 
faqat normal kuchlanishdangina iborat bo’ladi. 
Kuchlanish  vektori 
n
q

ning  koordinat  tekisliklarida  ta’sir  qilayotgan 
i
q

  kuchlanish  vektorlarining 
har biri  bitta  mos o’q bo’ylab  yo’nalgan  normal  va  ikkita urinma komponentalarga ega bo’ladilar. 
Agar  koordinat  tekisligi  bosh  maydoncha  bo’lsa,  ya’ni  bu  tekislikda  urinma  kuchlanishlar  nolda 
teng bo’lsa, 
i
q

 vektori komponentalaridan  faqat qaralayotgan tekislikka perpendikulyar  yo’nalgan 
o’q  bo’ylab  yo’nalgan  normal  komponentasigina  noldan  farqi  bo’ladi.  U  holda  qaralayotgan 
i
q

 
vektor  o’zining  shu  tekislikdagi  normal  komponentasi  bilan  unga  mos 
i
э

  bazis  vektorining 
ko’paytmasiga teng, boshqacha aytganda 
i
q

 vektori mos 
i
э

 bazis vektoriga karrali bo’ladi. Ana shu 
karralilik  ko’payturuvchisi  bo’lgan  skalyar  miqdorni 

  bilan  belgilaymiz.  U  holda  yuqorida 
aytilganlardan kelib chiqib 
i
i
э
q





                                                                (2.19) 
deb yozish mumkin (2.18) va (2.19) formulalardan  
i
j
ij
э
э





 
lekin 
j
ij
i
э
э




bo’lganligi uchun 
j
ij
j
ij
э
э







 
tenglikka va bundan 


0



j
ij
ij
э




                                                         (2.20) 
tenglamaga ega bo’lamiz. 
Kuchlnish  tenzorining  bosh  yo’nalishini  ko’rsatuvchi 
i
э

  vektorlarning  hammasi,  ya’ni 
3
2
1
э
э
э



lar  bir  vaqtda  nolga  teng  bo’lishlari  mumkin  emas.  Demak,  (2.20)  tenglamalar  sistemasi 
noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun uning determinanti nilga teng bo’lishi kerak, ya’ni 
0


ij
ij



                                                            (2.21) 
Bu  esa  tutash  muhitlar  mexanikasi  kursidan  bizga  ma’lum  bo’lgan  arsiy  tenglamaning  xuddi 
o’zidir. Ushbu tenglamaning yoyilib yo’zilishi quyidagicha ko’rinishga ega 
                      
n
q

 
    


                       
n

 
  

n
q

                         
                         
nn
q

  
 
        ds       
            2.9- rasm    

 
26






0
33
32
31
23
22
21
3
12
11
















                                                         (2.22) 
va u kuchlanish tenzorining xarakteristik tenglamasi deyiladi. 
Determinantni hisoblab 

 ga nisbatan kubik tenglamaga ega bo’lamiz: 
 
 
 
,
0
3
2
2
1
3




ij
ij
ij
I
I
I






                                          (2.23) 
buyerda 
 
,
33
22
11
1







ij
I
 
 
 
33
32
31
23
22
21
13
12
11
3
11
13
31
33
33
32
23
22
22
21
11
11
2
,



























ij
ij
I
I
                                          (2.24) 
Kuchlanish  tenzorining  birinchi  ikkinchi  va  ychinchi  invariantlari  deb  ataluvchi  I
1
,I
2
,I
3
 
invariantlarni aniqlovchi (2.24) tengliklarni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin 
 
 


 








.
2
1
3
1
,
2
1
,
3
3
2
1
ss
ij
ij
jj
ii
ss
jk
ik
ij
ij
ij
ij
ij
jj
i
ij
ii
ij
I
I
I



























                                           (2.25) 
Kubik  (2.23)  tenglamaning  ildizlarini,  ya’ni   

Т kuchlanish  tenzorining  bosh  qiymatlarini 
i
 lar 
orqali  belgilaymiz.  Odatda  bosh  kuchlanishlarning  raqamlar  ularning  aldebraik  ma’noda  kamayib 
borishi tartibida qabul qilinadi 
.
3
2
1





 
 
ij
T



  kuchlanish  tenzorining  biror  bosh  o’qi  bi’ylab  yonalgan  birlik  vektori 
n

  ning 
yo’naltiruvchi kosinuslariga teng bo’ladilar va 


0


j
ij
ij
n



                                                        (2.26) 
hamda 
1


j
j
n
n
                                                             (2.27) 
tenglamalardan aniqlanadilar. 
Kuchlanish  tenzori 
 
ij

ning 
3
2
1
,
,



bosh  qiymatlarini  birin-ketin  (2.26)  da 

ning 
o’rniga qo’yib va olingan uchta guruh tenglamalarini har safar (2.27) bilan birga ycchib uch guruh 
j
j
j
n
n
n
3
2
1
,
,
yo’naltiruvchi kosinuslarni topamiz. Xuddi shu kosinuslar kuchlanish tenzorining uchta 
bosh o’qlari yo’nalishlarini aniqlaydilar. 
Agar  koordinat  o’qlari 
 
ij

tenzorining  bosh  o’qlari  bo’ylab  yo’naltirilsa,  unung  normal 
komponentalari 
3
2
1
,
,



  bosh  kuchlanishlar  bo’ladilar,  urinma 


j
i
ij


  kuchlanishlar  nolga 
aylanadilar.  Demak,  bu  holda  kuchlanish  tenzorining  (2.7)  matrisasi  diogonal  matrisadan  iborat 
bo’ladi: 
 
3
2
1





o
o
o
o
o
o
Т
ij


                                                            (2.28) 

 
27
Koordinat  o’qlari  shunday  yo’naltirilganda 
 
ij

  tenzorning  invariantlarini  aniqlovchi  (2.25) 
formulalar quyidagi ko’rinishni oladilar 
 
 
 
.
,
,
3
2
1
3
1
3
3
2
2
1
2
3
2
1
1






















ij
ij
ij
I
I
I
                                                 (2.29) 
Endi  kuchlanish  tenzorining  simmetrik  tenzor  ekanligini  isbotlaymiz.  Buning  uchun  ixtiyoriy  v 
hajmli jism harakat miqdori momenti tenglamasining differensial shaklidan foydalanamiz [Sedov] 


.
Q
i
ij
j
i
i
э
э
h
dt
k
d













                                                (2.30) 
Bu  yerda 
k

-ichki  kuchlar  momenti, 
Q

-jism  sirtida  ta’sir  etuvchi  taqsimlangan  juftlar  momenti; 
h


-massaviy (hajmiy) kuchlar momenti; 


ij
j
i
э
э




ichki kuchlanish vektori momenti. 
Elastiklik  klassik  nazariyasi  doirasida  ichki,  hajmiy  va  taqsimlangan  sirt  juftlarining  momentlari 
nolga teng. U holda (2.30) dan  


0


ij
j
i
э
э



                                                                          (2.31) 
tenglikka ega bo’lamiz va uni 




0






ij
j
i
ij
j
i
i
j
i
j
э
э
э
э






 
ko’rinishda  yo’zib  olamiz.  Bu  yerda 
j
I 
  holda 


j
i
э
э



=0  bo’lganligi  sababli  (2.31)  tenglama 
aynan  qanoatlantiriladi  va  shuning  uchun  bu  hol  qaralmagan.  Oxirgi  tenglikning  ikkinchi 
yig’indisida (I va j lar gung ekanligini e’tiborga oling) yig’indilar hisoblanuvchi indekslar j ni I ga, I 
ni esa j ga almashtirib 




0






ij
j
i
ij
j
i
i
j
i
j
э
э
э
э






                                                           (2.32) 
tenglikka ega bo’lamiz. Lekin vektorlari ko’paytmalarning xossasiga asosan 
0
)
(
)
(




ij
ji
i
j
j
i
э
э




 
bundan 
ji
ij



                                                                    (2.33) 
Buyerdan  kuchlanish  tenzori 

T ning  simmetrikligi  ko’rinadi.  Unung  deviator  va  sharsimon 
qismlariga  yoyish  mumkin.  Ana  shunday  amaliyotni  kuchlanish  tenzori  uchun  amalga  oshiramiz, 
ya’ni 
)
(
ij
T



  kuchlanish  tenzorini,  simmetrik  tenzor  bo’lganligidan,  sharasimon  kuchlanish 
tenzori va kuchlanish deviatoriga yoyamiz: 
,
~
ij
ij
o
ij






                                                              (2.34) 
buyerda 
ij
o


-kuchlanishlar  sharsimon  tenzori  komponentalari; 
ij

~
-kuchlanish  deviatori 
komponentalari; 
o
 -o’rtacha normal kuchlanish, ya’ni 
 
3
/
3
1
ij
kk
o
I





                                                        (2.35) 
Kuchlanishlar sharsimon tenzorining birinchi, ikkinchi va uchinchi invariantlari (2.29) ga asosan 


 


 


 
.
27
/
;
3
/
3
;
3
3
1
3
3
2
1
2
2
1
1
ij
o
ij
o
ij
o
ij
o
ij
o
ij
o
I
I
I
I
I
I


















                                                      (2.36) 
tengliklar bilan aniqlanadilar. 
Kuchlanish deviatori 
)
~
(
ij

ning birinchi, ikkinchi va uchinchi invariantlari quyidagicha aniqlanadi: 

 
28
 
 
 
 
 
 
.
27
2
3
/
)
(
)
(
)
(
~
;
3
1
~
;
0
~
3
1
2
1
3
3
2
1
2
2
1
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
I
I
I
I
I
I
I
I
I















                                                      (2.37) 
Kuchlanish sharsimon tenzorining matrisasi 


o
o
o
ij
o
o
o
o
o
o
o






                                                                   (2.38) 
va kuchlanish deviatorining matrisasi 
 
о
o
o
ij
32
31
23
21
13
12
~








                                                               (2.39) 
ku’rinishlarga  bo’ladilar.  Amalda  kuchlanishlarning  sharsimon  tenzori  va  deviatorining  (2.38)  va 
(2.39)  ko’rinishlari  ko’proq  ishlatiladi.  Elastiklik  nazariyasi    tadbiq  qilinadigan  sohalarning 
ko’pchiligida  bosh  kuchlanishlarni  hisoblash  muhit  rol  o’ynaydi.  Shuning  uchun  bu  masalani 
yo’ritishga bob oxirida alohida paragraf bag’ishlanadi.