Aniq integralning ta’riflari

1.1 – misol. funksiya ixtiyoriy kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi ekanligini ko’rsating.
Yechilishi. kesmaning bo’linishini olamiz. Natijada kesma bo’laklarga bo’linadi va deb belgilaymiz. bo’linishga mos kelgan integral yig’indini tuzamiz:


ko’rinishda bo’ladi. Bundan
Demak, funksiya ixtiyoriy kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi ekan.
Aniq integralning ta’rifidan, har qanday Riman ma’nosida integrallanuvchi funksiya chegaralangan bo’lishiga ishonch hosil qilish qiyin emas, lekin har qanday chegaralangan funksiya har doim ham integrallanuvchi bo’lavermaydi.
1.2 – misol. Ushbu

Dirixle funksiyasi kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi emasligini ko’rsating.
Yechilishi. kesmaning bo’linishini olib, quyidagi

yig’indilarni tuzamiz. nuqta sifatida kesmadagi ixtiyoriy rasional nuqtani, sifatida esa , shu kesmadagi ixtiyoriy irrasional nuqtani olamiz. U holda, bo’ladi. Shuning uchun,

Demak, uchun Dirixle funksiyasining integral yig’indisi, 1.2 – ta’rifga binoan, limitga ega emas. Shuning uchun, Dirixle funksiyasi kesmada integrallanuvchi emas.
1.3 – misol. Ushbu

funksiyaning kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi emasligini ko’rsating.
Yechilishi. kesmaning ixtiyoriy bo’linishi bo’lsin. Unda kesma kesmalarga bo’linadi. nuqta sifatida, kesmadagi ixtiyoriy rasional nuqtani, sifatida esa, shu kesmadagi ixtiyoriy irrasional nuqtani olamiz. U holda,

yig’indilarni tuzamiz. Bunda yig’indi funksiya uchun integral yig’indi bo’ladi va u 1.1-misolga asosan,

bo’ladi. yig’indi esa, funksiya uchun integral yig’indi bo’lib,

bo’ladi. Shunday qilib, berilgan integral yig’indi yagona limitga ega emas.
Demak, berilgan funksiya kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi emas.