Aniq integralning ta’riflari

3.1– misol. Ushbu integralni Nyuton – Leybnis formulasi orqali hisoblang.
Yechilishi. Ma’lumki, integral ostidagi funksiyaning boshlang’ich funksiyasi, dan iborat. Nyuton – Leybnis formulasiga asosan,

bo’ladi. Xususiy holda, bo’lganda,
.
Shunday qilib, aniq integralni hisoblash masalasi, integral ostidagi integrallanuvchi funksiyaning boshlang’ich funksiyasini topish masalasiga keltirilar ekan. Lekin, har qanday integrallanuvchi funksiyaning ham boshlang’ich funksiyasini topish oson bo’lavermaydi. Shuning uchun, aniq integralni hisoblashda, boshqa usullardan ham foydalanishga to’g’ri keladi.
4. Aniq integral yordamida tekis shaklning yuzini hisoblash


4.1. Dekart koordinatalar sistemasida berilgan tekis shaklning yuzini hisoblash.
Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin.
4.1-ta’rif. Tekislikning oddiy (karrali nuqtalarga ega bo’lmagan) yopiq egri chiziq bilan chegaralangan qismi- tekis shakl (figura) deyiladi. Bunda - tekis shaklning chegarasi deyiladi.
O’qlarga nisbatan standart sohalar.
4.2-ta’rif. Koordinatalari, kesmada uzluksiz va funksiyalar uchun, munosabatlarni qanoatlantiradigan nuqtalar to’plami o’qqa nisbatan standart soha deyiladi.
Ta’rifning geometrik ma’nosi shundan iboratki, coha chapdan va o’ngdan, mos ravishda, to’g’ri chiziqlar kesmalari bilan ( bu kesmalar nuqtalarga aylanish ham mumkin) chegaralangan; funksiyaning grafigi coha ning yuqori chegarasidan, funksiyaning grafigi esa, uning qo’yi chegarasidan iborat (4.1-chizma).
4.3-ta’rif. Koordinatalari, kesmada uzluksiz va funksiyalar uchun, munosabatlarni qanoatlantiradigan nuqtalar to’plami o’qqa nisbatan standart soha deyiladi.
Ta’rifning geometrik ma’nosi shundan iboratki, coha yuqoridan va pastdan, mos ravishda, to’g’ri chiziqlar kesmalari ( bu kesmalar nuqtalarga aylanish ham mumkin) bilan, chapdan va o’ngdan mos ravishda va funksiyalarning grafiklari bilan chegaralangandir (4.2-chizma).
O’qlarga nisbatan standart sohalarning yuzalarini hisoblash formulalari:
1. o’qqa nisbatan standart coha- ning yuzi

formula bo’yicha hisoblanadi.
2. o’qqa nisbatan standart coha- ning yuzi

formula bo’yicha hisoblanadi.

4.1-chizma. 4.2-chizma.
Xususiy holda
3. funksiya kesmada aniqlangan va uzluksiz bo’lib, da bo’lsin.
Yuqoridan funksiyaning grafigi, yon tomonlardan va to’g’ri chiziqlar, pastdan esa o’q bilan chegaralangan shaklning (odatda bunday shakl, egri chiziqli trapesiya, deb yuritiladi) yuzi,
(4.1)
formula bo’yicha hisoblanadi (4.3 – chizma).

4.3 – chizma. 4.4 – chizma.
4. Agar kesmada aniqlangan, uzluksiz funksiya manfiy, ya’ni bo’lsa, u holda, asosi kesmadan iborat bo’lib, quyidan funksiyaning grafigi bilan chegaralangan (4.4 - chizma) trapesiyaning yuzi manfiy bo’ladi.

5. Agar kesma, chekli sondagi qism oraliqlarga bo’lingan bo’lib, ularning har birida funksiyaning qiymati manfiy emas yoki musbat emas bo’lsa, u holda, (4.1) integral, chekli sondagi, o’qdan yuqorida va undan pastda joylashgan (yuzi manfiy), egri chiziqli sohalar yuzlarining yig’indisiga teng bo’ladi (4.5 - chizma), ya’ni


4.5 – chizma. 4.6 - chizma

6. funksiyalar kesmada aniqlangan uzluksiz, va uchun, bo’lsin. U holda, chiziqlar bilan chegaralangan sohaning yuzi,

(4.2)
formula orqali topiladi (4.6 - chizma)