B. Kömekow, A. Orazgulyýew, G. Gurbangulyýew, O. Aşyrow, A. Kaşaňow, H. Geldiýew, A. Öwezow TÄsin matematikanyň syrlary

2. 1, 5 we 6 sifrler bilen gutarýan sanlary 
köpeltmek
1 sifr bilen gutarýan sanlar özara köpeldilende 
ýene­de 1 bilen tamamlanýan san alynýar. Şol häsiýet 
5 we 6 sifrler bilen gutarýan sanlara­da degişlidir. Şoňa 
görä­de 6 sifr bilen tamamlanýan islendik sanyň dere­
jesi ýene­de 6 sifr bilen gutarýar. Mysal üçin:
46
2
=2116; 46
3
=97336.
Bu sanlaryň ýokarda görkezilen aýratynlygyny al­
gebraik usulda esaslandyralyň. 6 bilen gutarýan ikibel­
gili sanlary 10a+6, 10b+6 we ş.m. ýaly ýazylýar. Bu 
ýerde a we b noldan tapawutly sifrler. 
Şeýle iki sanyň köpeltmek hasyly:
100ab+60b+60a+36=10⋅(10ab+6a+6b)+30+6= 
=10⋅(10ab+6a+6b+3)+6 deňdir. Görnüşi ýaly köpelt­
mek hasyly käbir onluklardan we 6 sifrden durýar. 
Şuňa meňzeşlikde 1 we 5 sifrler bilen tamamlanýan 
san laryň aýratynlygyny­da algebranyň kömegi bilen 
esaslandyryp bolýar. Ýokarda aýdylanlar bize 386
2567
­niň 
6 bilen, 815
723
­üniň 5 bilen, 491
1732
­niň 1 bilen we ş.m. 
gutarýandygyny tassyklamaga mümkinçilik berýär.
3. 11-e bölünijilik
Belli bolşy ýaly, bölünijilik nyşanlary bölmek ama ­
lyny ýerine ýetirmezden berlen sanyň käbir sana bö­
lünýändigini ýa­da bölünmeýändigini kesgitlemäge 
mümkinçilik berýär. Biz 2­ä, 3­e, 4­e, 5­e, 6­a, 8­e, 9­a, 
10­a bölünijilik nyşanlaryny bilýäris. 11­e bölünýän 

---

109
san lar hem käbir kanunalaýyklyga boýun egýär. 11­e 
bölünijilik nyşanyny getirip çykaralyň. Goý, N köpbel­
gili sanyň birlik sifri a, onluk sifri b, ýüzlük sifri c, 
müňlük sifri d we ş.m. bolsun, onda N sany N=a+10b+
+100c+1000d+...=a+10(b+10c+100d+...) görnüş de ýa­
zyp bolar. N sandan 11­e bölünýän 11⋅(b+10c+100d+...) 
sany aýralyň. Alnan a
–b–10(c+10d+...) tapawudyň 11­e 
bölünende şol bir galyndyny berýändigine göz ýetir­
mek kyn däldir. Netijede, biz
a
–b+c–d+...= (a+c+...) – (b+d+...) 
sanlary, ýagny edil N san 11­e bölünende alynýan ga­
lyndyny alarys. Bu ýerden 11­e bölünijiligiň aşakdaky 
nyşany gelip çykýar: täk orunda ýerleşýän sifrleriň 
jeminden, jübüt orunda ýerleşýän sifrleriň jemini 
aýyrmaly; eger tapawut nola deň ýa­da 11­e bölünýän 
(položitel ýa­da otrisatel) sana deň bolsa, onda synap 
görýän sanymyz 11­e bölünýändir. Eger bu şert ýeri ne 
ýetmese, synagdaky san 11­e galyndysyz bö lün meýär. 
87635064 sanyň 11­e bölünýändigini ýa­da bölünme­
ýändigini barlap göreliň: 8+6+5+6=25; 7+3+0+4=14; 
25–14=11. Diýmek, bu san 11­e galyn dy syz bölünýär.
Mundan başga­da has uly sanlar üçin 11­e bö lü­
nijiligiň has ýönekeý nyşany hem bar. Bu nyşanda 
sy nalýan san sagdan çepe iki sifri saklaýan bölekle­
re bölünýär we bu bölekler goşulýar. Eger alnan jem 
11­e galyndysyz bölünse, onda synalýan san hem 11­e 
bölünýär; eger jem 11­e galyndysyz bölünmese, synal­
ýan san hem 11­e galyndysyz bölünmeýär. Meselem, 
528­iň 11­e bölünýändigini ýa­da bölünmeýändigini 
barlamaly bolsun. 5+28=33; 33­üň 11­e bölünýändigi 
üçin 528 hem 11­e galyndysyz bölünýändir: 528:11=48. 
Bu nyşan hem ýokardaka meňzeş subut edilýär. 

---

110