B. Kömekow, A. Orazgulyýew, G. Gurbangulyýew, O. Aşyrow, A. Kaşaňow, H. Geldiýew, A. Öwezow TÄsin matematikanyň syrlary

14. Ajaýyp ýatkeşlik
Bu gözbagçylygyň syry ýönekeý we gülkünç. Siz öz 
tanyşlaryňyzyň birnäçesiniň telefon belgilerini yzygi­
der ýazmaly.
15. Nähili edip ýazylmadyk sanlaryň jemini bilmeli?
Eger bäşbelgili sanyň üstüne 99999 goşulsa, ýagny 
100000–1, onda sanyň öňünde birlik emele geler, ýöne 
ahyryndaky sifr 1 birlik kemeler. Gözbagçylyk hem oňa 
esaslanandyr. Ýatdan birinji goşulyja 99999­y go şup, 
84706+99999, siz alynmaly 3 sanyň jemini, ýagny 
184705 ýazýarsyňyz. Siz diňe ikinji we üçünji go­
şulyjylaryň jeminiň 99999 bolmagy barada aladalan­
maly bolarsyňyz. Şonuň üçin siz üçünji goşulyjy ýazy­
landa ýatdan ikinji sanyň her bir sifrini dokuzlykdan 
aýyrmaly. Biziň mysalymyzda ikinji goşulyjy 30485; 
şo nuň üçin siz 69514 ýazmaly. 30485+69514=99999.
Şonuň üçin öňünden ýazylan netije hökman ýerine 
ýetmeli.
17. Fibonaççiniň sanlaryny goşmak
Bu gözbagçylygyň syryna düşünmek ol diýen kyn 
däldir. Goý, Fibonaççiniň birinji we ikinji sanlary a we 
b bolsun.

---

144
Onda biz 10 agzadan ybarat bolan aşakdaky 
Fibonaççiniň sanlaryny alarys:
a
b
a+b
a+2b
2a+3b
3a+5b
5a+8b
8a+13b
13a+21b
21a+34b.
Bu sanlary goşup, 55a+88b aňlatmany alarys. Bu 
aňlatmany 11­e bölsek, aşakdan 4­nji agzanyň alyn­
jakdygy görünýär:
(55a+88b):11=5a+8b.
XII­XIII asyrlarda ýaşan belli italýan matematigi 
Leonardo Fibonaççiniň ady aşakdaky ajaýyp yzygider­
lik bilen baglanyşykly uly meşhurluga eýedir:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
Bu yzygiderlik u
1
=1, u
2
=1, u
n+1
=u
n
+u
n–1
(n>1 bo­
lan islendik natural san üçin) şertler bilen kesgitlenil­
ýär. Bu yzygiderligiň agzalaryna Fibonaççiniň sanlary 
diýil ýär.
Fibonaççiniň sanlary kombinatrikada, geometriýa­
da ýygy­ýygydan duş gelýär. Fibonaççiniň sanlaryň 
gyzykly häsiýetleri bardyr. Olaryň käbirlerini belläp 
geçeliň:
1. 
...
u
u
u u
u
u
n
n
n
2
2
3
2
2
1
1
2
+
+
+ +
=
+
;

---

145
2 
(
u
u u
u u
u u
1)
( 1)
n
n
n
n
n
n
n
n
2
1
1
2
1
1
=
=
=
-
-
-
-
+
+
-
-
-
;
3. 
u
m+k
=u
k–1
u
m
+u
k
u
m+1
.
Fibonaççiniň sanlarynyň bu häsiýetlerini matema­
tiki induksiýa metody bilen subut edip bolýar.
Fibonaççiniň sanlarynyň her bir üçünji agzasy 
sandyr, her bir dördünji agzasy üçe bölünýändir we her 
bir on bäşinji agzasy bolsa nol bilen tamamlanýandyr. 
Fibonaççiniň sanlarynyň iki goňşy agzasy özara ýöne­
keýdir, diňe m natural san n natural sana bölünýän 
mahalynda u
m
agza u
n
agza bölünýändir.
Fibonaççiniň sanlarynyň bölünijiligi dykgatly 
öwrenilende 5 sana aýratyn ornuň degişlidigi ýüze çy­
karylypdyr. Meselem, eger p ýönekeý san 5t±1 görnüşe 
eýe bolsa, onda u
p–1
agza p bölünýändir.
1786–1856­njy ýyllarda ýaşap geçen fransuz ma­
tematigi Ž. Bine Fibonaççiniň sanlaryny n belgä görä 
funksiýa görnüşinde aňlatmagyň aşakdaky formu­
lasyny tapypdyr:
.
u
5
2
5
2
1
5
1
n
n
n
=
+
+
-
c
c
m
m
Ž. Bineniň bu formulasynyň kömegi bilen Fibo­
naççiniň sanlarynyň yzygiderliginiň islendik agzasyny 
tapyp bolýar.