Bazis vektorlar

Bazis vektorlar.
Koordinatalar sistemasini markazi atrofida burish natijasida yangi koordinatalar sistemasi hosil bo’ladi (1-chizma). Hosil bo’lgan koordinatalar sistemasining bazis vektorlarini eski bazis vektorilari orqali quyidagicha ifodalash mumkin
, (1)
bu yerda yangi bazis vektorilarining eski bazis bilan tashkil qilgan burchaklari kosinuslari. Xuddi shunday eski bazislarni ham yangi bazislar orqali ifodalash mumkin


, (2)
bu yerda eski bazis vektorilarining yngi bazis bilan tashkil qilgan burchaklari kosinuslari. Endi koordinatalarni almashtirganda kuchlanish tenzori komponentalarini almashtirishni qaraylik. Bu holda kuchlanish tenzorining komponentalari yangi koordinatalarda quyidagicha ifodalanadi.


Deformatsiya tenzori komponentalarini ko’chish vektori komponentalari orqali ifodalash.
Endi ko’chish vektorini bazis vektorlari orqali yozamiz ,
ushbuga mos ravishda kovariant hosilalar quyidagicha yoziladi
(8.9)
bu yerda
Olingan (8.9) ifodalarning birinchisini (8.8) ifodaning birinchi qismiga qo’yamiz

Ma’lumki metrik tenzorning komponentalarini kovariant hosila belgisi ostiga kiritish mumkin. Bundan foydalansak yuqoridagi tenglikni quyidagicha yozish mumkin
(8.10)
Xuddi shunday (8.12) va (8.13) larning ikkinchi qismlaridan
(8.11)
Agar nisbiy ko’chishlarni cheksiz kichik deb hisoblasak ko’chish vektori hosilalarining ko’paytmalari va kvadratik hadlarni hisobga olmaslik mumkin. U holda (8.10) va (8.11) lardan
(8.12)
Ko’rinib turibdiki bu holda _{i j} lar simmetriklashtirilgan tenzorining komponentalari bilan ustma-ust tushadi.
Dekart koordinatalari sistemasida esa
Deformatsiya tenzori.
. U holda t va t+t paytlardagi holatlar uchun deformatsiya tenzori

Yuqoridagi (9.1) formulani, agar faqat yo’ldosh sistema uchun qaraydigan bo’lsak (9.6)
ifodaga ega bo’lamiz. Bu erda, agar bo’lsa,
(9.7)
bundan (9.8)
ya’ni e_ij t lar  t vaqtdagi ko’chishga mos keluvchi cheksiz kichik deformatsiyalar tenzorining komponentalaridir. Tushunarliki, deformatsiya tenzorining (9.8) komponentalari ham birgalik tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak. Oxirgi (9.8) formulani (8.27) ga qo’yib t0 bo’lganda limitga o’tsak, deformatsiya tezliklari tenzori komponentalari uchun quyidagi birgalik tenglamalari sistemasini olamiz