Bazis vektorlar

Kovariant hosila.
ixtiyoriy egri chiziqli ¹, ², ³ koordinatalar sistemasida bazis vektorlari o’zgaruvchi vektorlar bo’lib, ular ⁱ koordinatalarning funksiyalari bo’ladilar. Shuning uchun vektorning hosilasini hisoblashda bu faktni hisobga olishga to’g’ri keladi.
Demak,
(6.6)
va bu yerdagi kattalik yana vektordan iborat bo’ladi va uni bazis vektorlari bo’yicha yoyish mumkin. Bu yoyilmaning komponentalarini Г deb belgilaymiz, ya’ni
(6.7)
ifodaga ega bo’lamiz. Bu yerdagi Г lar koordinatalarning funksiyalari bo’ladilar va Kristoffel simvollari deb ataladilar. Oxirgi (6.7) ifodani (6.6) ga qo’yib
(6.8)
ga ega bo’lamiz. Bu ifodaning o’ng tomonidagi ikkinchi qo’shiluvchi i va k lar bo’yicha yigindidan iborat ya’ni i va k lar gung indekslar. Shuning uchun bu yerdagi i va k larning o’rinlarini almashtirib
(6.9)
ifodaga ega bo’lamiz. Bu ifodada bazis vektorlari oldilaridagi koeffisieyentlar vektorning kontrovariant komponentalaridan olingan kovariant hosilalar deyiladi va kabi belgilanadi.
Kovariant hosilaning xossalari :
Dekart koordinatalari sistemasida ( ⁱ = x ⁱ) kovariant hosila vektor komponentalaridan koordinata bo’yicha olingan oddiy hosila bilan bir xil bo’ladi. Haqiqatan,

bo’lganligidan u holda (6.10) dan

bo’ladi.
2. Kovariant hosilalar ikkinchi rang tenzorning komponentalari bo’ladilar. Haqiqatan, faraz qilaylik, ⁱ– yangi, ^j– eski koordinatalar sistemalari bo’lsin, u holda

va bu yerdan lar vektorning kovariant komponentalari kabi almashtirilishi kelib chiqadi.
Shuning uchun ob’ekt invariant ob’ektdir. U holda (6.9) va (6.10) formulalarga asosan,

ya’ni T – 2-rang tenzor va bu tenzorning komponentalari lardan iborat.

1. 
   Ixtiyoriy  skalyar miqdordan olingan kovariant hosila uning oddiy hosilasi bilan bir xil bo’ladi:
   

.
Endi tenzorning kontravariant komponentalaridan olingan kovariant hosilalar bilan tanishamiz. Ushbu tenzor berilgan bo’lsin:

(6.11)
Yig’indining ikkinchi hadida i va l larning, 3 – hadida esa j va l larning o’rinlarini almashtiramiz (shunday qilishga haqqimiz bor, chunki bu indekslar bo’yicha yig’indilar hisoblanadi)
bu yerda

ifoda ikkinchi rang tenzor kontravariant komponentalarining kovariant hosilasi deyiladi.