Bazis vektorlar

Indeksli belgilash; to’g’ri burchakli va egri chiziqli koordinata sistemalari
Ilgari ko’rganimizdek _ij deformatsiya tenzori tutash muhitning ikki boshlang’ich va “ayni” holatlari bilan bog’liq holda kiritiladi

Agar boshlang’ich holat haqiqatan ham bor bo’lsa, uzluksiz muhit nuqtalarining hammasi uchun vaqtning t _o paytida erishiladigan boshlang’ich holatdan, vaqtning t paytida erishilgan ayni holatiga ko’chish vektori mavjud bo’ladi. Tutash muhitning bu ikki holatidan tashqari uchinchi bir, vaqtning t+t paytiga to’g’ri keladigan va qaralayotgan ayni g_ij holatga yaqin g_ij holatini ham qarash mumkin. U holda t va t+t paytlardagi holatlar uchun deformatsiya tenzori
(9.1)
kabi aniqlanadi. Bu erda g_ij – boshlang’ich hol uchun
(9.2)
formuladan foydalandik; hosilalar (kovariant) ham g_ij boshlang’ich holat uchun hisoblanadilar.

Ma’lumki

(9.3)
ya’ni agart - kichik bo’lsa, w₁ lar  t tartibiga ega cheksiz kichik ko’chishlar ekanligi ma’lum bo’ladi. Shuning uchun
(9.4)
bu erda e _ij kattaliklar simmetrik va bu tenzor deformatsiya tezliklari tenzori deyiladi.

Ko’rinib turibdiki

(9.5)
formula ixtiyoriy egri chiziqli koordinatalar sistemasida ham o’z ko’rinishini saqlaydi.

Kontravariant va ko’variant bazis vektorlari.
Agar, chekli qiymatga ega bo’lsa, deformatsiya ham chekli deformatsiya deyiladi.
Quyidagicha belgilash kiritamiz:
(7.4)
u holda yuqoridagi (2.1) va (2.2) formulalarga asosan
(7.5)

ko’rinib turibdiki, larni ikkinchi rang tenzorning kovariant komponentalari sifatida qarash mumkin. Bu tenzorning kontravariant komponentalarini fundamental metrik tenzor yordamida hosil qilish mumkin. Lekin bu ishni ikki xil amalga oshirsa bo’ladi, ya’ni buning uchun larni ishlatib larni, larni hosil qilish mumkin. Shular mos ravishda ikkita bir xil (7.4) kovariant komponentalarga ega, lekin kontravariant komponentalari har xil bo’lgan deformatsiya tenzorlarini hosil qilish mumkin:

. (7.6)
Bu tenzorlarning kontrovariant va aralash komponentalarini mos ravishda kabi belgilaymiz.
Aralash komponentalar bir-birlariga teng emas. Ya’ni , chunki
.