Bazis vektorlar

Deformatsiya tenzorining bosh o’qlari va bosh komponentalari.
Endi ko’chish vektori va uning komponentalari orqali deformatsiya tenzorini ifodalash masalasi bilan tanishamiz. Faraz qilaylik Evklid fazosidagi x ¹, x ², x ³sanoq sistemasiga nisbatan tutash muhitning biror M nuqtasi boshlang’ich va ayni paytdagi radius vektorlari bo’lsinlar. Harakat qaralayotgan fazoning boshlang’ich paytdagi metrikasi , ayni paytdagi esa g _ij bo’lsinlar. Bu holda ko’chish vektorini
kabi kiritish mumkin. Ushbu (8.8) formula yordamida bazis vektorlari orasidagi munosabatlarni o’rnatish oson. Haqiqatan (8.4)ni ⁱ lar bo’yicha differensiallab
ga, bundan esa
hamda
(8.5*)

8.1-chizma ifodalarga ega bo’lamiz.
Deformatsiyaning birgalik tenglamalari
Ma’limki, deformatsiya tenzorining komponentalari
(8.14)
tengliklar bilan aniqlanadilar. Ko’chish vektori mavjud bo’lganda metrikalari quyidagi

1. 
   t – payt uchun
   

(8.15)

2. 
   t _o- payt uchun
   

(8.16)
formula bilan aniqlovchi

kvadratik shakllarning har ikkalasi ham Evklid fazosidagi biror element uzunligining kvadratini ifodalaydilar. Shuning uchun, fazoning evklidligi shartidan kelib chiqib, har ikkala g_{i j} va fundamental metrik tenzorlar nolga teng bo’lishlari kerak degan xulosaga kelamiz. Bu esa o’z navbatida keltirilgan
(8.17)
va (8.18)
formulalarga asosan (8.19)
tenglamalarga olib keladi.


Egri chiziqli koordinatalarni almashtirish
Agar boshlang’ich holat haqiqatan ham bor bo’lsa, uzluksiz muhit nuqtalarining hammasi uchun vaqtning t _o paytida erishiladigan boshlang’ich holatdan, vaqtning t paytida erishilgan ayni holatiga ko’chish vektori mavjud bo’ladi. Tutash muhitning bu ikki holatidan tashqari uchinchi bir, vaqtning t+t paytiga to’g’ri keladigan va qaralayotgan ayni g_ij holatga yaqin g_ij holatini ham qarash mumkin. U holda t va t+t paytlardagi holatlar uchun deformatsiya tenzori
(9.1)
kabi aniqlanadi. Bu erda g_ij – boshlang’ich hol uchun
(9.2)
formuladan foydalandik; hosilalar (kovariant) ham g_ij boshlang’ich holat uchun hisoblanadilar.