Bir o’zgaruvchili funksiya hosilasi va differensiali yuqori tartibli hosila va differensiallar

Hosilaning geometrik ma`nosi.


nuqtada funksiyaga o`tkazilgan urinma deb kesuvchining (2-rasm) nuqtasi nuqtaga funksiya grafigi bo`ylab ixtiyoriy ravishda yaqinlashishini qabul qilamiz. Bunda .

2-rasm
qiymat nuqtada funksiyaga o`tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientini bildiradi (2-rasm).
nuqtada funksiyaga o`tkazilgan urinma tenglamasi quyidagi ko`rinishga ega bo`ladi:
.
12-misol. nuqtada funksiyaga o`tkazilgan urinma tenglamasini tuzing.
Yechish. .
Demak urinma tenglamasi: (3-rasm). ►
13-misol. nuqtada funksiyaga o`tkazilgan urinma tenglamasi bo`lgani uchun u vertikal to`g`ri chiziq bo`ladi (4-rasm). ►

3-rasm 4-rasm


Hosila olish va differensiallash qoidalari.
va funksiyalar nuqtada differensiallanuvchi bo`lib, bo`lsin. U holda:

1. 
   ; .
   
2. 
   ; .
   
3. 
   ; .
   
4. 
   ; .
   

Funksiyaning hosilasi va differensialini hisoblashda zarur bo`ladigan elementar funksiyalarning hosilalari jadvalini keltiramiz:
1)
2)
3)
4)



5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
14-misol. funksiyaning hosilasini hisoblang.
Yechish. Bu yerda hosilalar jadvali va hosila olish qoidasidan foydalanamiz:
. ►
15-misol. funksiya hosilasi quyidagicha hisoblanadi:
. ►
Murakkab funksiyani differensiallash qoidasi bilan tanishib chiqamiz. bo`lib, funksiya nuqtada funksiya esa nuqtada differensiallanuvchi bo`lsin. U holda murakkab funksiya ham nuqtada differensiallanuvchi bo`ladi:
,
U holda . Bu yerda . Bu birinchi differensialning invariantligi deyiladi, ya`ni murakkab funksiyada ham differensial o`z formasini saqlab qoladi.