Ádettegi differenciallıq teńlemelerge qoyılǵan Koshi (baslanǵısh) máselesin sheshiw usılları

Tema: Birinshi tártipli ÁDTlarǵa qoyılǵan Koshi máselesin Runge-Kutta usılı menen sheshiw
Meyli

(1)

(2)

Koshi máselesin sheshiw talap etilsin. Bul máseleni sheshiw ushın Runge-Kuttanıń dálliginiń tártibi hár qıylı bolǵan kóp sanlı usıllar bar.

1. 
   Dálliginiń tártibi p=2 ge teń bolǵan parametrinen ǵarezli bolǵan Runge-Kuttanıń eki aǵzası usılınıń formulası tómendegishe jazıladı:
   

(3)

,

Endi bul usıldıń nıń aralıǵına iye bolǵan bazı bir mánislerindegi formulaların keltiremiz:

1. 
   Meyli bolsın. Bul jaǵdayda (3) formulası tómendegi kóriniste jazıladı:
   

, (4)

2. 
   Meyli bolsın.
   

(5)

Bul (3), (4), (5) formulalarınıń dálliginiń tártibi p=2 boladı:

(6)

kórinisinde jazıladı.

II. Runge-Kuttanıń dálliginiń tártibi p=4 bolǵan esaplaw formulası.

Bul usıldıń esaplaw formulası tómendegishe jazıladı:

(7)

Bul formulanı tómendegi kóriniste jazadı:

(8)

Bul (7), (8) formulalarınan paydalanıp (1), (2) Koshi máselesiniń juwıq sheshimin dállik tártibi menen esaplaw ushın adımınıń durıs saylap alınǵanlıǵın usıldıń hár bir adımında qadaǵalap barıwı kerek boladı.

(9)

a)Eger bolsa, onda tıń durıs saylap alınǵanlıǵı

b)Egerde 1 ge jaqın yamasa úlken shama bolsa, onda shárt orınlanǵansha adımınıń uzınlıǵın maydalap barıladı.

Runge-Kuttanıń ulıwmalıq túrde berilgen (7), (8) formulaları menen esaplawlardı orınlaǵanda hám adımınıń durıs saylap alınǵanlıǵı (9) formulası menen tekserilgende bul usıldıń qáteligi Runge qádesinen paydalanıp tabıladı.

Meyli - adımı menen, - adımı menen Runge-Kuttanıń (7), (8) formulaları menen tabılǵan sheshimniń juwıq mánisleri bolsın. Sonda juwıq sheshimniń qáteligin tómendegi formula boyınsha esaplawǵa boladı:

(10)

Bul formuladan paydalanıw ushın esaplawlardı (7), (8) formulalarınan paydalanıp hám adımlar menen eki ret orınlawǵa tuwra keledi.

Dálligi joqarı bolıwı hám esaplaw formulasınıń qollanıw ushın qolaylı bolıwına baylanıslı Runge-Kuttanıń (7), (8) formulalarınıń standart programmaları dúzilip, barlıq EEMlerdiń operativ yadına jaylastırılǵan. Sebebi bul usıl tómendegi eń jaqsı qásiyetlerge iye boladı:

1. Dálligi salıstırmalı joqarı.

2. Esaplawlardı orınlaw ushın shártiniń beriliwi jetkilikli.

3. Koshi máselesiniń sheshimi kesindisiniń qaysı úlesinde tez ózgeretuǵın bolsa adımdı kishireytiwge, al áste ózgerse úlkeytiwge boladı.

4. Bul usıl anıq usıllar toparına jatadı. Basqasha aytqanda mánisiniń noqat teń aralıq mánisi emes, al tek ǵana noqatta ǵana paydalanıladı.

5. Adımnıń uzınlıǵınıń durıs saylanǵanın (9) formulası boyınsha tekseriledi, al qáteligin (10) formulası menen bahalawǵa boladı.

Mine usı jaǵdaylarǵa baylanıslı Runge-Kutta usılı ... ÁDTlarǵa qoyılǵan Koshi máselesin sheshiw ushın keń qollanıladı.