Ádettegi differenciallıq teńlemelerge qoyılǵan Koshi (baslanǵısh) máselesin sheshiw usılları

Tema: Birinshi tártipli ÁDTge qoyılǵan Koshi máselesin Eyler usılı menen sheshiw.
(Leonard Eyler (1707-1783)j ullı Shvecariya fizigi, matematigi óz zamanındaǵı barlıq ilimler menen shuǵıllanǵan ilimpaz).

Meyli

(1)

(2)

Koshi máselesin sanlı usıl menen tabıw talap etilsin. Eń ápiwayı sanlı usıl bul Eyler usılı boladı. Bul usıldı qollanıw ushın dáslep (1), (2) máselesi sheshimi izlenip atırǵan kesindisinde tor jasaymız.

kesindisinde sheksiz noqatlar bar, onıń hámme noqatlarındaǵı funkciyanıń mánislerin esaplay almaymız, tek ǵana tortıń shekli noqatlarındaǵı funkciyanıń juwıq mánislerin tawamız, bul sanlı usıl dep ataladı. Sheksiz keńisliktegi differencial teńlemeni shekli keńisliktegi algebralıq hám transendent funkciyalarǵa almastıramız.

(1), (2) Koshi máselesin sheshiwdiń sanlı usıldıń mánisleri mınanday:

Tordıń , túyinlerindegi , juwıq mánislerin anıqlawdan ibarat. Bul máseleni sheshiw ushın túyindegi sheshimine juwıq sheshimi anıqlanadı dep esaplap ol funkciyanıń kelesi túyindegi juwıq sheshimin anıqlawdan ibarat. Bunıń ushın sheshimi da kerekli tártipke shekemgi úzliksiz tuwındıǵa iye boladı dep esaplap funkciyasın túyininde Teylor qatarına jayıp 3 aǵzasın saqlap qalamız.

₍₃₎

-bazı bir aralıq noqat.

Endi (1) ge mánisin qoyamız:

(4)

Egerde kesindide shegaralanǵan mániske iye bolsa hám tordıń adımı jetkilikli kishi shama bolsa, onda (3)degi sońǵı aǵza oǵa da kishi shama boladı hám onı taslap ketiwge boladı. Sonda (4) den paydalanıp (3) ni tómendegi kóriniste jazıwǵa boladı:

(5)

(5) de belgilewlerin kirgizip onı tómendegishe jazıwǵa boladı:

(6)

Berilgen (1), (2) Koshi máselesin tordıń túyinindegi juwıq mánisin (6) formulası menen anıqlaw Eylerdiń ádettegi usılı dep ataladı. Tordıń túyini turaqlı bolǵan jaǵdayda bul formula

(7)

kórinisinde jazıladı. Geyde bul formulanı

(8)

kórinisinde de jazadı.

Bunda,

a)

b)

belgilewleri kirgiziledi.

Eyler usılı tómendegi geometriyalıq mániske iye boladı:

Hár bir kishi keindide (1), (2) Koshi máselesiniń sheshimi integral iymekliginiń noqatı arqalı oǵan júrgizilgen urınbanıń kesindisi menen almastırladı:

-hár bir adımdaǵı lokallıq qátelik

Bul bir adımda, al pútkil kesindidegi awhal tómendegishe:

Usıldıń hár bir adımında bunday almastırıw tákirarlanadı. Sonlıqtan Eyler usılı menen tabılǵan juwıq sheshim tóbesi noqatlarında jatatuǵın sınıq sızıqtı anıqlaydı. Bul sınıq sızıq Eylerdiń sınıq sızıǵı dep ataladı.

Eyler usılı eń ápiwayı sanlı usıl bolǵanlıqtan ol mınanday kemshiliklerge iye:

1. 
   Dálligi tómen:
   

(9)

Dálliginiń tártibi p=1 boladı.

2. 
   Esaplawlardıń barısında payda bolǵan qátelikler toplanıp barıladı. Sonlıqtan bul usıl esaplaw praktikasında siyrek qollanıladı.
   

Esaplawlardıń qáteligin bahalaw ushın Runge qádesinen paydalanıladı. Onıń ushın Eyler usılınan paydalanıp esaplawlar hám adımlar menen eki ret orınlanadı. Sonda adım menen tabılǵan juwıq sheshiminiń qáteligi tómendegishe bahalanadı.

(10)

Bunda - adımında tabılǵan juwıq sheshimi. Biraqta egerde kesindisi jetkilikli kishi kesindi bolsa, onda tordıń adımı ge umtılǵanda Eylerdiń sınıq sızıǵı integral iymekligine teń ólshemli umtılatuǵınlıǵı dálillengen.