Ehtimollar nazariyasi Reja

Ehtimolliklarni qо‘shish va kо‘paytirish teoremalari
Hodisaning ehtimolligini aniqlashda uni boshqa soddaroq hodisalar kombinatsiyasi kо‘rinishida ifodalash qulayroq. Quyidagi ta’rif va teoremalar shu maqsadda keltiriladi. 1-ta’rif. A va B hodisaning yig‘indisi deb, ulardan kamida bittasining rо‘y berishidan iborat C=A+B hodisaga aytiladi. 2-ta’rif. A va B hodisalarning birgalikda rо‘y berishidan iborat hodisa ularning kо‘paytmasi deb ataladi va C=A·B bilan belgilanadi. Bu ta’riflardan quyidagi xossalar kelib chiqadi:

U- muqarrar hodisa, V-mumkin bо‘lmagan hodisa.

3-Ta’rif. Agar A va B hodisalar uchun AB=V, ya’ni ularning bir vaqtda rо‘y berishi mumkin bо‘lmasa, ular birgalikda bо‘lmagan hodisalar deyiladi. 1-teorema. Ikki birgalikda bо‘lmagan A va B hodisalar yig‘indisining ehtimolligi, bu hodisalar ehtimolliklari yig‘indisiga teng:

Isboti. Ehtimollikning klassik ta’rifidan foydalanamiz. n ta elementar hodisalar orasida A hodisaga qulaylik tug‘riduvchi hodisalar soni m1 , B hodisa uchun esa m2 bо‘lsin. U holda,

A va B hodisalar birgalikda bо‘lmaganligi uchun elementar hodisalardan hech biri bir vaqtda A hodisaga ham, B hodisaga ham qulaylik tug‘dirmaydi. Shuning uchun, A+B hodisaga m1  m2 ta hodisa qulaylik tug‘diradi va
Teorema isbotlandi.

1-misol. Qopda 30 ta shar bо‘lib, ulardan 10 tasi qizil, 8 tasi kо‘k va 12 tasi oq. Tavakkaliga olingan shar rangli bо‘lish ehtimolligini toping. Yechish: Olingan shar rangli bо‘lishi qizil yoki kо‘k shar chiqishini bildiradi.

Q izil shar chiqishi (A hodisa) ehtimolligi

kо‘k shar chiqishi (B hodisani) ehtimolligi esa

A va B hodisalar birgalikda emas, shuning uchun qо‘shish teoremasiga kо‘ra

1-Natija Qarama-qarshi A va À hodisalar ehtimolliklari yig‘indisi birga teng:

2-misol. 7 ta oq va 3 ta qora shar solingan idishdan tavakkaliga 5 ta shar olindi. Olingan sharlar ichida hech bо‘lmaganda bitta qora shar bо‘lish ehtimolligi topilsin.
Yechish. A- hech bо‘lmaganda bitta qora shar bо‘lish hodisasi; u holda, A qora shar bо‘lmaslik hodisasi bо‘ladi va

(*) ga asosan ,

2-natija. А А Аn , ..... 1 2 elementar hodisalar ehtimolliklari yig‘indisi 1 ga teng:

4-ta’rif. A hodisaning ehtimolligi B hodisa rо‘y berishi yoki bermasligiga bog‘liq bо‘lmasa, A hodisa B hodisaga bog‘liqsiz deyiladi.
5-ta’rif. Agar A hodisaning rо‘y berish ehtimolligi B hodisanig rо‘y berish yoki bermasligiga bog‘liq bо‘lsa, A hodisa B hodisaga bog‘liq deyiladi.
6-ta’rif. A hodisaning B hodisa rо‘y berdi shartidagi ehtimolligi shartli ehtimollik deyiladi va P(A/ B) yoki P (A) B kabi belgilanadi.
3 -misol. Qopda 3 ta oq va 5 ta qora shar bor. Qopdan tavakkaliga bitta shar (birinchisi), sо‘ngra yana bir shar (ikkinchisi) olindi. B- birinchi olingan shar oq, A- ikkinchi olingan shar ham oq bо‘lishi hodisasi bо‘lsin.
Ravshanki, agar B hodisa rо‘y bersa, u holda, A

hodisaning ehtimolligi Agarda B hodisa rо‘y bermasa, u holda

bо‘ladi. Kо‘rinib turibdiki,