Ehtimollar nazariyasi Reja

Tо‘la ehtimollik. Beyes formulasi
A hodisa birgalikda bо‘lmagan hodisalar tо‘la guruhini tashkil qiluvchi B B Bn , , ... , 1 2 hodisalarning biri bilan rо‘y berishi mumkin bо‘lsin. B B Bn , , ... , 1 2 hodisalarni A hodisa uchun gipotezalar ham deb ataymiz. U holda,
Isbot. Shartga kо‘ra, A hodisaning rо‘y berishi B1A yoki B2A yoki, ..., yoki Bn A hodisaning rо‘y berishini bildiradi. Ehtimolliklarni qо‘shish teoremasiga kо‘ra

Tenglikni о‘ng tomonidagi qо‘shiluvchilarni (2.5) formulaga asosan almashtirib (2.9) formulani hosil qilamiz.(2.9) tо‘la ehtimollik formulasi deyiladi.
7-misol. О‘qituvchi sinov о‘tkazish uchun 50 ta mashq tayyorladi: 20 ta differensiallashdan; 30 ta integrallashdan. Talaba sinov topshirish uchun tavakkaliga olgan birinchi mashqni bajarishi lozim. Agar talaba differensiallashdan 18 ta, integrallashdan 15 ta mashqni tо‘la bajaraolsa, uni sinov topshirish ehtimolligi qancha?
Yechish. B1 olingan mashq differensiallashdan, B2 esa integrallashga doir bо‘lsin. U holda,

Agar A masala yechilgan bо‘lishlik hodisasi bо‘lsa, u holda,




Beyes formulasi. (Tomas Beyes – ingliz matematigi, 1702-1761)
Masalaning qо‘yilishi. Birgalikda bо‘lmagan hodisalarning tо‘la guruhi B B Bn , , ... , 1 2 berilgan. Bu gipotezalar har birining ( ), ( ), ... , ( ) P B1 P B2 P Bn ehtimolligi hamda sinov о‘tkazilganda A hodisa rо‘y beradi va har bir gipoteza bо‘yicha  , ( ), ... ( ) 1 2 P A P A P A В B Bn ehtimolliklar ma’lum bо‘lsin. A hodisa rо‘y berishi munosabati bilan gipotezalar ehtimolliklari  , ( ),..., ( ) PA B1 PA B2 PA Bn larni qayta baholash talab qilinadi. Bu masalaga quyidagi teorema javob beradi. Teorema. Masala shartidagi sinovdan keyingi gipotezalar ehtimolliklari uchun ushbu formula о‘rinli:

Isboti. Avvalo   РA В1 shartli ehtimolni topamiz. Kо‘paytirish teoremasiga asosan

Bundan,

yoki

Teorema isbotlandi.
8-misol. Yuqoridagi (7-misol) masala shartlarida talabaning sinov topshirgani ma’lum bо‘lsa, uni differensiallashdan mashq bajargan bо‘lish ehtimolligini toping.
Yechish. Gipotezalar ehtimolligi Beyes formulasidan foydalanamiz. Bizdan A hodisa rо‘y bergan deb taxmin qilinganda В1 gipotezaning ehtimolligini topish kerak bо‘ladi. Demak, (2.10) formulaga kо‘ra

Kо‘rinib turibdiki, sinovgacha B1 gipotezaning ehtimolligi 0,4 ga teng edi, sinov natijasi ma’lum bо‘lgandan sо‘ng esa bu gepotezaning ehtimolligi о‘zgardi va 0,55 ga teng bо‘ldi. Shunday qilib, Beyes formulasi qaralayotgan gipotezani qayta baholash imkonini berdi.