Эҳтимоллар назариясининг предмети. Ҳодисалар турлари. Тасодифий ҳодиса. Эҳтимолликнинг

Эҳтимоллар назариясининг предмети. Ҳодисалар турлари. Тасодифий ҳодиса. Эҳтимолликнинг классик, статистик, геометрик таърифлари.


Таянч иборалар. Тасодифий ҳодиса, муқаррар ҳодиса, мумкин бўлмаган ҳодиса, биргаликда бўлмаган ҳодисалар, тенг имкониятли ҳодисалар, эҳтимолнинг классик таърифи, коминаторика. Нисбий частота, нисбий частотанинг турғунлиги, статистик таъриф, геометрик эҳтимоллик.
Режа:

1. 
   Фанинг предмети.
   
2. 
   Тасодифийҳодисалар ва уларнинг турлари.
   
3. 
   Эҳтимолнинг классик таърифи.
   
4. 
   Комбинаторика ва унинг тадбиқи.
   
5. 
   Нисбий частота.
   
6. 
   Эҳтимолнинг статистик таърифи.
   
7. 
   Геометрик эҳтимоллик.
   

Эҳтимоллар назарияси ҳозирги замон математикасининг муҳим тармоқларидан биридир. Эҳтимоллар назарияси фанининг пайдо бўлишига қимор ўйинларининг математик моделларини ва назариясини яратиш йўлидаги изланишлар туртки бўлди. Бу фаннинг дастлабки тушунчалари шаклланган давр XVI-XVII асрлар бўлиб, Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма каби олимларнинг номлари билан боғлиқдир.
Эҳтимоллар назариясининг кейинги ривожланиш даври Яков Бернулли (1654-1705) номи билан боғлиқ. У исботлаган, кейинчалик “Катта сонлар қонуни” номини олган , теорема олдинги тўпланган фактларнинг биринчи назарий асосланиши эди.
Эҳтимоллар назариясининг кейинги ютуқлари Муавр, Лапас, Пуассон каби олимларнинг номлари билан боғлиқ.
XIX асрнинг иккинчи ярмидан бошлаб эҳтимоллар назариясининг ривожланишига В.Я. Буняковский, П,Л. Чебишев, А.А. Марков, А.М. Ляпунов каби рус олимлари ўз илмий изланишлари билан катта ҳисса қўшдилар. Фаннинг мустақил фан бўлиб уйғунлашишида ва кейинги ривожида С.Н. Бернштейн, В.И. Романовский, А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, Н.В. Смирнов ва бошқаларнинг хизматлари катта бўлди.
Эҳтимоллар назарияси ва математик статистика фаннинг Ўзбекистонда ўз ўринини топишида ва ривожланишида В.И. Романовский, С.Х. Сирожиддинов ва Т.А. Саримсоқов каби олимларининг ҳиссалари беҳисобдир. Ҳозирги кунда уларнинг шогирдлари томонидан эҳтимоллар

назарияси ва математик статистика фани бўйича ҳам назарий, ҳам амалий тадқиқотлар давом эттирилмоқда.

Биз юқорида ҳодисаларни уч турга бўлган эдик. Ўз навбатида тасодифий ҳодисаларни ҳам бир неча турларга ажратилади.

Битта тажрибада битта ҳодисанинг рўй бериши қолган ҳодисаларнинг рўй беришини йўққа чиқарса, бундай ҳодисалар биргаликда бўлмаган ҳодисалар деб айтилади.
Мисоллар.

1. 
   Танга ташланди. “Герб” тушиши “рақам” тушишини йўққа чиқаради. “Герб” тушди ва “рақам” тушди ҳодисалари биргаликда бўлмаган ҳодисалардир.
   

2. 
   Ўйин кубиги ташланди. Бунда
   

  {_i},(i 1, 6)
тўпламда 6 та элементар

ҳодиса бўлиб, улар биргаликда бўлмаган ҳодисалардир.
1, 2, 3, 4-мисоллардаги элементар ҳодисалар ҳам биргаликда бўлмаган ҳодисалардир.
Агар тажриба натижасида бир нечта ҳодисалардан биттаси ва фақат биттасиинг рўй бериши муқаррар ҳодиса бўлса, у ҳолда бу ҳодиса ягона мумкин бўлган ҳодиса дейилади.
Агар бир нечта ҳодисалардан бирининг рўй бериш имконияти бошқаларига нисбатан юқорироқ дейишга асос бўлмаса, улар тенг имкониятли ҳодисалар дейилади. Юқоридаги 5-мисолда “герб” тушди ва “рақам” тушди ҳодисалари тенг имкониятли ҳодисалардир. Бу тасдиқ 1, 2, 3, 4, 6-мисолдаги ҳар бир элементар ҳодиса учун ҳам ўринли.
Агар тажриба натижасида ҳодисалар тўпламидан ҳеч бўлмаганда биттаси албатта рўй берса ва улар жуфт-жуфти билан биргаликда бўлмаса, у ҳолда бу ҳодисалар тўплами тўла группа ташкил этади дейилади. Юқоридаги 5-мисолдаги “герб” тушди ва “рақам” тушди ҳодисалари тўла группа ташкил этади. Худди шу фикрни 1, 2, 3, 4, 6-мисоллардаги ҳодисалар тўпламига ҳам айтиш мумкин.
Эҳтимол тушунчаси эҳтимоллар назариясининг асосий тушунчалардан бири бўлиб, унинг бир нечта таърифи мавжуд.
Умумий қилиб айтганда, эҳтимол-тасодифий ҳодисанинг рўй бериш имкониятини миқдорий жиҳатдан характерловчи сондир. Қуйида эҳтимолнинг классик таърифини келтирамиз.
Қуйидаги мисолни кўриб чиқамиз. Қутида 10 та: 4 та қизил, 4 та кўк, 2 та оқ шар бўлсин. Қутидан тасодифий тарзда шар олинганда унинг рангли бўлиш имконияти оқ бўлишига қараганда кўпроқлиги аниқ. Бу имкониятни сон билан ифодалаймиз ва уни ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли деб атаймиз. Шундай қилиб, ҳодисанинг рўй бериш имкониятини характерловчи сон

ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли деб аталади ва p билан белгиланади. Ҳодисанинг рўй бермаслик эҳтимоли эса q билан белгиланади.
Бу мисолда қутидан тасодифий равишда шар олинганда унинг рангли бўлиш эҳтимолини топамиз. Олинган шарнинг рангли ( ҳозир ҳам, кейинчалик ҳам рангли шар деб оқ шардан бошқа рангдаги шарларни тушунамиз) бўлишини A ҳодиса сифатида қараймиз. Тажрибанинг ҳар бир

натижасини _i
( i  1, 2, 3,... ) элементар ҳодиса деб қараймиз. Бизнинг мисолда

10 та элементар ҳодиса мавжуд:
₁,₂ -оқ шар олинди;
₃,₄,₅,₆ -қизил шар

олинди;
₇ ,₈,₉,₁₀ -кўк шар олинди. Кўриниб турибдики,
_i ҳодисалар тенг

имкониятли бўлиб, тўла группа ташкил этади.
Бизни қизиқтираётган ҳодисанинг рўй беришига олиб келадиган элементар ҳодисаларни бу ҳодисанинг рўй беришига қулайлик туғдирувчи ҳодисалар деб атаймиз. Бизнинг мисолимизда A ҳодисанинг рўй беришига қулайлик туғдирувчи ҳодисалар 8 та: ₃,₄,₅,₆,₇,₈,₉,₁₀ .
Шундай қилиб, A ҳодисага қулайлик туғдирувчи ҳодисалардан қайси бир бўлишидан қатъий назар биттаси рўй берса A ҳодиса рўй беради:

бизнинг мисолимизда агар
₃ ,₄ ,₅ ,₆ ,₇ ,₈ ,₉ ,₁₀
ҳодисалардан ҳеч

бўлмаганда бири рўй берса, A ҳодиса рўй беради.