Эҳтимоллар назариясининг предмети. Ҳодисалар турлари. Тасодифий ҳодиса. Эҳтимолликнинг

эслатма. Ҳодисанинг статистик таърифи ҳам ноқулай, чунки битта ҳодисанинг рўй бериш частоталари кетма-кетлиги турли тажрибаларда турлича бўлади. Бундан ташқари, амалда биз частоталар кетма-кетлигини эмас, балки унинг чекли элементларини оламиз, чунки ҳамма кетма-кетликни олиб бўлмайди. Шу сабабли, эҳтимоллар назариясини аксиоматик асосда қуриш мақсадга мувофиқ ҳисобланади.

Элементар ҳодисалар фазоси – эҳтимолликлар назарияси учун асосий (бошланғич) тушунча бўлиб, унга таъриф берилмайди. Формал нуқтаи назардан бу ихтиёрий тўплам ҳисобланиб, унинг элементлари урганилаётган тажрибанинг “бўлинмайдиган” ва бир вақтда рўй бермайдиган натижалардан
иборат бўлади. Элементар ҳодисалар фазоси  ҳарфи билан белгиланиб,

унинг элементларини (элементар ҳодисаларни) 
ҳарфи билан ифодалаймиз.

Айтайлик элементар ҳодисалар фазоси
 ихтиёрий тўплам бўлиб, F

эса
 нинг қисм тўпламларидан ташкил топган система бўлсин.

1. 
   Таъриф. F система алгебра ташкил қилади деймиз, агар қуйидаги
   

шартлар бажарилса:

^₁ : F;

^₂ : Агар
F,
F
бўлса,
F , F
бўлади ;

^3 : Агар
F
бўлса,
   \ F
бўлади.

Кўриш қийин эмаски,
^2 да келтирилган иккита муносабатдан

биттасини талаб қилиниши етарли бўлади, чунки иккинчиси олган ҳолда доим бажарилади.
^₃ ни ҳисобга

F алгебрани баъзи ҳолларда ҳалқа деб ҳам қабул қилинади, чунки F да


қўшиш ва кўпайтириш амаллари мавжудки (тўпламлар назарияси

маъносида), уларга нисбатан F
ёпиқ система бўлади. F
алгебра бирлик

элементга эга бўлган ҳалқа деб тушунилиши мумкин, чунки
F

эканлигидан ҳар қандай
F
учун
    
тенглик ўринли.

2. 
   Таъриф. Тўпламлар системаси
   

F -алгебра ташкил қилади деймиз,

агар ^₂
хосса ихтиерий тўпламлар кетма-кетлиги учун бажарилса:

^₂ . Агар ҳар қандай n учун
_n F
бўлса, у ҳолда




n1



n1


бўлади.

Қайд қилиб ўтамизки,
^2 хоссадаги каби
^₂ да ҳам келтирилган 2та

муносабатдан биттасини бажарилиши етарли, чунки (иккилик принципи)

тенглик ўринли.

n n


F – -алгебра, -ҳалқа ёки ҳодисаларнинг Борел майдони

деб ҳам юритилади.

Келтирилганлардан келиб чиқадики, алгебра чекли сонда бажариладиган тўпламларни қўшиш, кўпайтириш, қўшимча тўпламларга ўтиш амалларига нисбатан ёпиқ бўлган тўпламлар системаси бўлар экан. - алгебра эса бу амалларни саноқли сонда бажарилишига нисбатан ёпиқ системадир.

Агар
 тўплам ва унинг тўпламларидан тузилган алгебра ёки -

алгебра
F берилган бўлса,
_,F_
ўлчовли фазо дейилади. Масалан
0,1

ораликдаги чекли интерваллардан ташкил топган тўпламлар системаси алгебра бўлади, лекин -алгебра бўлмайди.
Умуман эҳтимолликлар билан боғлиқ бирор масалани ечишда унга мос

келган тажриба учун
_, F_
ўлчовли фазони қабул қилиш керак. Бунда 

кўрилаётган тажрибанинг элементар ҳодисалар (натижалар) тўплами, F шу

тажриба билан боғлиқ ҳодисалар -алгебраси.
F га кирмайдиган
 ^нинг

барча тўплам остилари ҳодисалар ҳисобланмайдилар. Кўпинча F сифатида

конкрет маънога эга бўлган тўпламлар системаси ҳосил қилган -алгебра қабул қилинади.

Умуман,
 -тўпламлар системаси
₁ , ₂ ,...,_n ,... _
тўпламни

парчалайди деймиз, агар

ва ҳар хил i ва j лар учун Кўп ҳолларда

A_j

  A₁  A₂  ...  A_n  ...

бўлса.

F   ( A₁, A₂ ,..., A_n ,...)
деб олиш мақсадга мувофиқ бўлади. Бу ерда қандай парчаланиш системасини қабул қилиш қўйилган масаланинг маъносига боғлиқ.

Энди
_, F_
ўлчовли фазода эҳтимоллик тушунчаси қандай

киритилганини эслатиб ўтамиз.

3. 
   ^{Таъриф.} ^{, F}
   

ўлчовли фазодаги эҳтимоллик
P() ,
F -алгебранинг

тўпламларида аниқланган сонли функция бўлиб, у қуйидаги шартларни қаноатлантиради:

Р₁: Ҳар қандай

n
Р₂: P() 1.
AF
учун
P( A)  0 .

Р₃: Агар
F га тегишли ҳодисалар кетма-кетлиги
A , n  1
учун

A_i  A_j  A_i
A_j   _i 
^j  ^бўлса,

^ 
P(_ A_n )  _ P( A_n ).
n1 ^n1
Р₃ хосса эҳтимолликнинг -аддитивлик хоссаси дейилади.

_, F, P_
учлик эҳтимоллик фазоси дейилади.

Эҳтимоллик
P ўлчовли
_, F_
фазодаги тақсимот ёки яна соддароқ

равишда,  даги тақсимот деб ҳам юритилади.

Шундай қилиб, эҳтимоллик фазоси берилган деганда, ўлчовли фазода саноқли аддитив, манфий бўлмаган қийматларни қабул қилувчи ва ҳамма элементлар ҳодисалар тўпламида 1 га тенг бўлган ўлчовни бериш тушунилади.

F -алгебрани ва унда
P эҳтимолликни аниқлайдиган А₁,
^A2 , А₃, Р₁,

Р₂, Р₃ аксиомалар биргаликда ҳозирги замон эҳтимолликлар назариясининг асосини ташкил этади ва улар ХХ-асрнинг машҳур математиги А.Н.Колмогоров томонидан киритилган.