Фазовий юкланган стерженларнинг геометрик ночизиқли масалаларини ечишни температурани ҳисобга олган ҳолда математик моделлаштириш

Масалани қўйилиши
(5)
Кинетик энергияни вариациялаш орқали қуйидаги кўринишга келтирамиз.
(6)
Ифода (5) ларни (6) ифодага қўйиб, улар устида дифференциаллаш вариациялаш, интеграллаш ва ўхшиш хадларни келтиришни амалга ошириб, қуйидагига эга бўламиз.
(7)
бу ерда

- стержен кўндаланаг кесим юзи, - статик момент, - инерсия моменти
Стерженларнинг кучланганлик-деформацияланганлик ҳолатининг ҳароратни ҳисобга олган ҳолда уч ўлчовли боғланиш тенгламалари қуйидагича ифодаланади [С.П.Тимашенко, Д. Гудьер. 1997 г]:
(8)
Бу ердан тенг эканлигини ҳисобга олиб, ҳароратга боғлиқ кучланганлик қуйидаги формула асосида ҳисобланади.

Гук қонуни асосида кучланганлик ҳолатини ҳароратни хисобга олган ҳолда қуйидаги кўринишга келтирамиз [С.П.Тимашенко, Д. Гудьер. 1997 г].

Бу ерда чизиқли кенгайиш коэффициенти, Ҳарорат, - эластиклик модули, -ҳарорат билан кучланганлик, -кучланганлик ҳароратсиз
Потенциал энергияни аниқлаймиз
Деформацияни ночизиқ кўриниши
(9)
(9) Коши муносабатларини вариациялаймиз :
(10)
Потенциал энергияларни қуйидаги (4) формула орқали хисоблаймиз:
Потенциал энергияларни хисоблашлашда (10) ни (11) га қўйиб қуйидаги тенгликга эга бўламиз.
(11)
Ифода (11) га (5) ни қўйиб, бир хил ҳадларни группалаш орқали потенциал энергияни қуйидаги ифодага келтирамиз.

(12)
Потенциал энергияни ҳисоблашда стержн кўндаланг кесим юзаларини белгилашлар қуйидаги кўринишга келади:
(13)
Бу ерда ; ; ;;
- нормал кўчланганлик, - кучланганлик моменти, - уринма кучланиш.
Белгиланишлар орқали (14) дан потенциал энергияни кўриниши қуйидгича бўлади.
(14)
Бу ерда

Ташқи кучлар бажарган ишини формуласи қуйидагича.

(15)
Ташқи кучлар бажарган ишини ҳисоблаймиз. Бунда (5) дан қуйидаги формулага қўямиз.
(16)
Стержен кўндаланг кесим бўйича интеграл оламиз. Бундан кейин ифода қуйидагича.
(17)
Стержен кўндаланг кесим бўйича белгилаш киритамиз:
(18)
(19)
Бу ерда

Остроградского-Гамильтона вариацион тамоили асосида тенглама кнетик энергия, потенциал энергия ва ташқи бажарилган ишлар йиғиндисини қуйидагича.
(20)
Бу ерда ўхшаш хадларни группалаб, қуйидаги ифодани ҳосил қиламиз:
(21)
Вариациялар номаълум функциялар бўлиб, “0” га тенг эмас. Шунинг учун уларнинг коэффициентлари “0” га тенг бўлиши керак. Ушбу холатдан бошлаб, (21) тенгламага мос бошланғич ва чегаравий шартларга эга бўлган қуйидаги тенгламалар тизимини олинади.
Стержен тебраниш тенгламаси:
(22)
Табиий умумлашган бошланғич шартлар

(23)
Табиий умумлашган чегаравий шартлар:
(24)

Стерженинг бўйлама ва кўндаланг тебранишини ночизиқ масаласининг ҳароратни ҳисобга олган ҳолда тенгламанинг умумий математик моделнинг кўриниши қуйидагича.

Табиий умумлашган бошланғич шартлар
(26)
Табиий умумлашган чегаравий шартлар:
(27)
Стержень бўйлама ва кўндаланг тебраниш геометрик ночизиқ масаласини сонли ечиш алгоритмини ишлаб чиқиш
Стержен тебраниш тенгламани сонли ечиш учун координата бўйича ўлчамсиз ҳолга келтириб вақт . қуйидаги тенгламалар системасини ҳосил қиламиз. Бу ерда кўчиш векторини қуйидагича ташкил этамиз
Табиий умумлашган бошланғич шартлар
(28)
Табиий умумлашган чегаравий шартлар:

Стерженнинг тебраниш тенгламаси, бошланғич, чегаравий шартларни бўлиб юборамиз ҳамда коэффициентлардан тузилган матритцалар, векторлар орқали тенгламалар системасини ҳосил қиламиз.

Табиий умумлашган бошланғич шартлар
(31)
Табиий умумлашган чегаравий шартлар:
(32)

Тенгламани вектор шаклда қуйидагича

(33)
(34)
(35)
Бу ерда мтрицалар, векторлар.

матрица (30) тенгламалар тизимидаги кўриниши қуйидаги шаклга эга:

матрицанинг элементлри (30) тенгламадан хосил бўлади.:

матрица (30) тенгламалар тизимидаги кўриниши қуйидаги шаклга эга:

матрицанинг элементлри (30) тенгламадан ҳосил бўлади.

матрица (30) тенгламалар тизимидаги кўриниши қуйидаги шаклга эга:

матрицанинг элементлри (30) тенгламадан хосил бўлади:


матрица (31) тенгламалар тизимидаги кўриниши қуйидаги шаклга эга:

матрицанинг элементлри (31) тенгламадан хосил бўлади.:

Чегаравий шарт (32) дан матрица кўриниши қуйидагича:


Чегаравий шарт (32) дан матрица кўриниши қуйидагича:

Стерженнинг кўндаланг кесим юзи а ва b бўлса статик моментлар “0” тенг бўлади ва (24) тенгламадан қуйидаги тенгламага эга бўламиз. (36)

Табиий умумлашган бошланғич шартлар
(37)
Табиий умумлашган чегаравий шартлар:
(38)


Стержннинг бўйлама ва кўндаланг тебранишининг ҳароратни ҳисобга олган ҳолда ишлаб чиқилган алгоритимлар асосида сонли натижалар графиги

Стержннинг кўндаланг кесими бўйича нуқталарни кўчиши (бу ерда n узеллар сони)



Стержннинг бўйлама бўйича нуқталарни кўчиши (бу ерда n узеллар сони)


Стержн соф эгилишга ўтказилган уринманинг марказий чизиққа нисбатан оғиш бурчаги (бу ерда n узеллар сони)