Физических упражнений

i
– угол наклона 
i-го звена к оси Ох (обобщенные координаты 
i-го звена); 
i – буквенный индекс, используемый для обозначения номера 
звена (
i = 1, 2, ... , N); 
N – количество звеньев модели. 
В кинематическом анализе движений биомеханических систем 
необходимы сведения и о пространственно-временных характери-
стиках: угловых скоростях и угловых ускорениях звеньев тела 
спортсмена. С этой целью введем обозначения для первой и вто-
рой производной по времени от обобщенных координат биомеха-
нической системы: 
1

– угловая скорость первого звена; 
2

– угловая скорость второго звена;
3

– угловая скорость третьего звена; 
1

– угловое ускорение первого звена; 
2

– угловое ускорение второго звена; 

---

192
3

– угловое ускорение третьего звена. 
Соответственно, для 
N-звенной модели биомеханической си-
стемы имеем: 
i


– угловая скорость 
i-го звена; 
i

– 
угловое ускорение 
i-го звена; 
i – буквенный индекс, обозначающий номер звена. 
В связи с тем, что за обобщенные координаты биомеханической 
системы приняты 
i

, то 
i

и 
i

соответственно будут обозна-
чать обобщенную скорость и обобщенное ускорение 
i-го звена. 
Для обозначения масс-инерционных характеристик рассматри-
ваемой трехзвенной модели опорно-двигательного аппарата тела 
спортсмена введем следующие идентификаторы: 
P
1
– вес первого звена; 
P
2
– вес второго звена; 
P
3
– вес третьего звена; 
m
1
– масса первого звена; 
m
2
– масса второго звена; 
m
3
– масса третьего звена; 
J
1
 – центральный момент инерции первого звена; 
J
2
– центральный момент инерции второго звена; 
J
3
– центральный момент инерции третьего звена. 
В буквенной индексации, распространяемой на 
N-звенную мо-
дель биомеханической системы, введем следующие идентифика-
торы для обозначения масс-инерционных характеристик звеньев 
биосистемы: 
P
i
– вес 
i-го звена; 
m
i
– масса 
i-го звена; 
J
i
 – центральный момент инерции i-го звена; 
i – буквенный индекс, обозначающий номер звена. 
Формульные выражения уравнений естественного движения 
неразветвленной трехзвенной модели биомеханической системы, 
представленные в форме уравнений Лагранжа второго рода, имеют 
вид 

---

193
11 1
1
1
12
2
2
1
13 3
3
1
2
2
2
11 1
1
1
12
2
2
1
13 3
3
1
1
1
cos(
)
cos(
)
cos(
)
sin(
)
sin(
)
sin(
)
cos
0;
A
A
A
A
A
A
Y

   

   

   
 
   

   

   

 






21 1
1
2
22
2
2
2
23 3
3
2
2
2
2
21 1
1
2
22 2
2
2
23 3
3
2
2
2
cos(
)
cos(
)
cos(
)
sin(
)
sin(
)
sin(
)
cos
0;
A
A
A
A
A
A
Y

   

   

   
 
   

   

   

 






31 1
1
3
32
2
2
3
33
3
3
3
2
2
2
31 1
1
3
32
2
2
3
33
3
3
3
3
3
cos(
)
cos(
)
cos(
)
sin(
)
sin(
)
sin(
)
cos
0.
A
A
A
A
A
A
Y

   

   

   
 
   

   

   

 






(6.2)
В уравнениях движения (6.2) коэффициенты A
ij
характеризуют 
масс-инерционный и кинематический компоненты отдельных зве-
ньев биомеханической системы: массы m
i
, моменты инерции J
i
, 
длины L
i
и положение центра масс звеньев S
i
на продольной оси 
звена. Таким образом, в численных значениях динамических ко-
эффициентов звеньев биомеханической системы A
ij
, учитываются 
антропометрические особенности сегментов и звеньев опорно-
двигательного аппарата тела спортсменов. 
Компактная запись формульных выражений для определения 
динамических характеристик звеньев тела модели в N-звенной 
биомеханической системе приведена в главе 4 (см (4.27), (4.28)). 
Содержательный смысл коэффициентов Y
i
, содержащихся в ле-
вой части уравнений,
заключается в том, что они представляют 
собой выражения для определения обобщенных сил в уравнениях 
Лагранжа и в развернутой записи имеют вид 
Y
1
 = (P
1
S
1
 + P
2
L
1
 + P
3
L
1
); 
Y
2
 = (P
2
S
2
 + P
3
L
2
); 
Y
3
 = (P
3
S
3
). (6.3) 
Компактная запись уравнений для определения обобщенных 
сил в уравнениях Лагранжа, имеет вид 

---

194
1
.
N
i
i
i
i
j
j i
Y
P S
L
P
 



(6.4) 
Можно заметить, что структура уравнений (6.4) аналогична 
структуре числителя в уравнениях (4.15), используемых при опре-
делении координат ОЦМ биомеханической системы. Это позволя-
ет определять коэффициенты Y
i
экспериментально-аналитическим 
методом, что существенно повышает точность вычислений.