Физических упражнений

N
N
ij
j
j
i
ij
j
j
i
i
i
j
j
A
A
Y



   

   
 




(6.10) 
Здесь N – количество звеньев моделируемой системы.

---

196
Из (6.10) видно, что количество уравнений, определяющих 
движение биомеханической системы, равно количеству ее степе-
ней свободы или числу звеньев модели, а численное значение бук-
венного индекса i соответствует номеру уравнения в системе 
уравнений. 
Уравнения движения биомеханической системы, записанные в 
форме (6.10), остаются верны для модели с любым числом звеньев 
и любым числом обобщенных координат. Структура уравнений 
такова, что делает их удобными для автоматизированного форми-
рования на компьютере.
Уравнения движения биомеханической системы, записанные в 
форме (6.10), являются уравнениями естественного движения, т.е. 
такими, в которые в качестве неизвестных функций времени вклю-
чены обобщенные координаты. При этом подразумевается, что 
движущийся объект не вырабатывает управляющих воздействий. 
Иначе говоря, естественное движение можно рассматривать как 
неуправляемое движение, не преследующее достижение цели. 
Движения человека являются целенаправленными, и в этой 
своей части они существенным образом отличаются от естествен-
ных движений. Целенаправленные движения формируются при 
помощи особых сил, называемых управляемыми. С этой точки 
зрения человек – самоуправляемая система, использующая для 
управления движением вырабатываемые внутри системы мышеч-
ные силы. 
В математической форме учет управляющих воздействий мы-
шечных сил на биомеханику движения заключается во введении в 
правую часть уравнений естественного движения управляющих 
моментов мышечных сил в суставах M
i
, записываемых для i-го 
уравнения системы (6.10) в виде алгебраической суммы слагаемых 
M
i
 – M
i+1
, где 
M
i+1
≠ 0, если i, и M
i+1
= 0, если i = N. (6.11) 
С учетом (6.13) приведем развернутую запись уравнений целе-
направленных движений человека для трехзвенной биомеханиче-
ской модели в соответствии с системой уравнений (6.10): 

---

197
11 1
1
1
12 2
2
1
13 3
3
1
2
2
2
11 1
1
1
12 2
2
1
13 3
3
1
1
1
1
2
cos(
)
cos(
)
cos(
)
sin(
)
sin(
)
sin(
)
cos
;
A
A
A
A
A
A
Y
M
M

  

   
  
 
   
    
  

 







 
21 1
1
2
22 2
2
2
23 3
3
2
2
2
2
21 1
1
2
22 2
2
2
23 3
3
2
2
2
2
3
cos(
)
cos(
)
cos(
)
sin(
)
sin(
)
sin(
)
cos
;
A
A
A
A
A
A
Y
M
M

  

  

  
 
  

  

  

 







(6.12) 
31 1
1
3
32 2
2
3
33 3
3
3
2
2
2
31 1
1
3
32 2
2
3
33 3
3
3
3
3
3
cos(
)
cos(
)
cos(
)
sin(
)
sin(
)
sin(
)
cos
.
A
A
A
A
A
A
Y
M

  

   
  
 
   
   
  

 






В правой части уравнений движения трехзвенной биомеханиче-
ской системы заключаются сведения об управляющих моментах 
мышечных сил в суставах спортсмена и моменте силы трения в 
месте контакта спортсмена с опорой: 
М
1
– момент силы трения; 
М
2
– управляющий момент мышечных сил, развиваемый 
спортсменом в плечевых суставах; 
М
3
– управляющий момент мышечных сил, развиваемый 
спортсменом в тазобедренных суставах. 
Включая (6.11) в правую часть уравнений (6.10), запишем урав-
нения целенаправленного движения N-звенной биомеханической 
системы в компактной форме: 
2
1
1
1
cos(
)
sin(
)
cos
.
N
N
ij
j
j
i
ij
j
j
i
i
i
i
i
j
j
A
A
Y
M
M




   

   
 





(6.13) 
Решить систему уравнений (6.13) можно относительно как ее 
правой, так и левой частей. В первом случае необходимы данные о 
траекторных положениях звеньев тела спортсмена в процессе вы-
полнения упражнений. Их можно получить по материалам оптиче-
ской регистрации движений. Тогда, используя в качестве расчет-
ной модели уравнения (6.13), определим величину управляющих 
моментов мышечных сил в суставах спортсмена, формирующих 
данное движение. 

---

198
Как уже отмечалось, решить систему уравнений, описывающих 
целенаправленные движения человека, можно и относительно ее 
левой части. В частности, за исходные данные в этом случае мож-
но принять обобщенные координаты и обобщенные скорости зве-
ньев тела в начальный момент времени и представить в аналити-
ческом виде или в форме заданной числовой последовательности 
закон изменения управляющих моментов мышечных сил по вре-
мени на всей траектории системы. Решение исходной системы 
уравнений с последующим интегрированием позволит получить на 
выходе траекторию движения моделируемой биомеханической 
системы. Варьируя начальные условия движения и программный 
закон изменения управляющих моментов мышечных сил, получим 
различные варианты техники двигательных действий. 
Следовательно, уравнения (6.13) представляют собой базовую 
математическую модель движения рассматриваемой N-звенной 
биомеханической системы, и она может быть использована как для 
анализа, так и для синтеза техники упражнений, выполняемых 
спортсменом.