Физических упражнений

6.3. Базовая математическая модель многозвенной
неразветвленной биомеханической системы 
В биомеханике физических упражнений используется опреде-
ленная классификация биомеханических систем, основанная, в 
частности, на структурной организации опорно-двигательного ап-
парата тела человека. С этой целью используют, например, такие 
понятия, как замкнутая, незамкнутая кинематическая цепь; раз-
ветвленная, неразветвленная и т.д. В соответствии с общеприня-
тыми понятиями здесь и в дальнейшем будем рассматривать мате-
матический аппарат биомеханики движений человека, используе-
мый для описания биомеханического состояния многозвенных 
не-
разветвленных биомеханических систем. Основные вычислитель-
ные алгоритмы и технология их построения рассматриваются на 
примере трехзвенной модели опорно-двигательного аппарата тела 
человека с дальнейшим их распространением на 
N-звенные биоме-
ханические системы. 
Для построения расчетных моделей анализа движений биоме-
ханических систем, основанных на рекуррентных соотношениях 

---

190
типа (6.1), рассмотрим кинематическую схему трехзвенной модели 
опорно-двигательного аппарата тела человека (рис. 6.3). В приня-
той модели: руки – первое звено, туловище с головой – второе зве-
но, ноги – третье звено. 
О
А
Х
О
Б
Х
L
L
L
3
2
1
1
2
3
S
1
S
2
S
3
Y
Y
Рис. 6.3. Кинематическая схема (Б) трехзвенной модели (А)
опорно-двигательного аппарата тела человека 
С помощью данной модели можно исследовать кинематику и 
динамику вращательных движений спортсмена в условиях опоры. 
В процессе выполнения упражнений спортсмен не теряет контакта 
с опорой, к примеру, с грифом перекладины. Поэтому расположим 
кисти рук спортсмена в начале неподвижной системы координат 
Оху, а ее, в свою очередь, совместим с торцом грифа перекладины.
На принятую модель наложены ограничения:
1. Звенья тела человека и гриф перекладины считаются абсо-
лютно твердыми телами. 
2. Суставы, посредством которых звенья тела человека соединя-
ются друг с другом, моделируются цилиндрическими шарнирами. 
3. Трение в шарнирах отсутствует. 
4. Центры масс звеньев модели расположены на прямой, соеди-
няющей их оси вращения в шарнирах (на продольной оси звена). 
Введем в кинематическую схему модели обозначения: 

---

191
L
1
– длина первого звена; 
L
2
– длина второго звена; 
L
3
– длина третьего звена; 
S
1
 – расстояние от оси вращения (гриф перекладины) до центра 
масс первого звена; 
S
2
 – расстояние от оси вращения (плечевые суставы) до центра 
масс второго звена; 
S
3
– расстояние от оси вращения (тазобедренные суставы) до 
центра масс третьего звена; 
φ
1 
– угол, образованный первым звеном с осью 
Ох; 
φ
2
– угол, образованный вторым звеном с осью 
Ох; 
φ
3
– угол, образованный третьим звеном с осью 
Ох. 
Для модели с произвольным количеством звеньев биосистемы 
введем буквенную индексацию для обозначения номера звена: 
L
i
– длина 
i-го звена; 
S
i
 – расстояние от оси вращения i-го звена до его центра масс; 
φ