Физических упражнений

6.4. Естественные движения и уравнения
целенаправленных движений человека 
В процессе выполнения различных упражнений на тело 
спортсмена действуют как внешние, так и внутренние, в частно-
сти, мышечные, силы. Задача количественного определения дей-
ствия внешних сил достаточно проста и успешно решается с ис-
пользованием расчетных моделей анализа движений биомеханиче-
ских систем. Нахождение же численных значений величины силы 
тяги мышц с помощью инструментальных методов исследования 
связано с существенными трудностями. Одним из подходов, поз-
воляющих дать численную оценку развиваемых спортсменом мы-
шечных усилий при выполнении соревновательных упражнений, 
является аналитический расчет. 
Рассмотрим естественное движение N-звенной биомеханиче-
ской системы, т.е. такое движение, при котором движущийся объ-
ект не вырабатывает управляющих воздействий. Дифференциаль-
ные уравнения движения такой системы можно записать в форме 
уравнений Лагранжа второго рода 
,
m
m
m
d
T
T
F
dt








(6.5) 
где T – кинетическая энергия; 

m
– обобщенные координаты 
(m = 1,...,N); 

m
– обобщенные скорости (m=1,..., N); F
m
– обоб-

---

195
щенные силы; N – число степеней свободы. В качестве обобщен-
ных координат приняты углы наклона звеньев биосистемы к оси 
Ох декартовой системы координат. 
Кинетическая энергия рассматриваемой биомеханической 
системы определяется из формульного выражения, которое в при-
нятых обозначениях запишем в виде 
2
1
1
1
1
2
cos(
)
2
N
N
N
ii
i
ij
i
j
j
i
i
i
j i
T
A
A


 



 
 
  





 

 
. (6.6) 
Подставим (6.6) в (6.5). Дифференцируя в (6.5) по времени 
обобщенные координаты и обобщенные скорости, получим фор-
мульное представление дифференциального оператора Лагранжа 
2
1
1
cos(
)
sin(
)
N
N
ij
j
j
i
ij
j
j
i
j
j
A
A



   

  




. (6.7) 
Здесь i – номер уравнения системы, который так же как и в (6.6), 
изменяется от 1 до N, где N – количество звеньев биомеханической 
системы. 
Введем обозначение 
1
N
k i
i
k i
i i
Y
P L
PS
 



(6.8) 
и запишем правую часть уравнений движения (6.5) в виде 
1
cos
i
i
N
i
i
F
Y


 

. (6.9) 
Таким образом, дифференциальные уравнения естественного 
движения N-звенной биомеханической модели в компактной запи-
си имеют вид 
2
1
1
cos(
)
sin(
)
cos
0.