Fraktallar üadeéÇ Z.Ç. Kelishdikmi aloqa VV jikov ú ú ú¸fl ô ô ô ‡ ‡ ì ˜ ˜ î î ùÿ ùÿ í

Lékélézdav YÅKÄBéZÇÄãúçõv UmkçÄã, ‹12, 1996 yil
Machine Translated by Google

---

DÄçnéêéÇé
Tasodifiy va xira
Guruch. 1. Cantor to'plamining qurilishi.
33
n
e ÿ 0
ÿ
n =1
32
22
K1
K2
K3
K0
111
ÜadeéÇ Z.Ç. KELISHDIKMI
…
(1)
(1) dan K ning uzunligi nolga teng ekanligi kelib chiqadi. Buni
tashlab ketilgan oraliqlar uzunligining geometrik progressiyasini
yig'ish orqali tekshirish mumkin:
8 --, …
9
3
1
1
N( ) e .
2
--,
9
Kn =
uzunlik
K0 ÿ K1 ÿ K2 ÿ
2
= 1.
+++ ----------- 2
----
2-, 3
dan iborat
2lim _
--
Keling , K to'plamining tuzilishini batafsil o'rganamiz. Qurilish
bo'yicha ballar unga tegishli
Kn to'plami har biri (1/3)n uzunlikdagi 2n bo'lakdan iborat ,
shuning uchun
3
--
yopiq to'plamlar yopiq. Bo'sh to'plam ÿ yopiq hisoblanadi.
-- ÿ ÿ
1
=
0, 1
--
– –
3
Biz buni e uchun aytishimiz mumkin
7-, 9
1 = 0,100… = 0,0222…
Shunday qilib, Kantor to'plami K [0, 1] dan sanab o'tiladigan
intervallarni tashlab, olinadi. Unga to'ldiruvchi to'plam bu
intervallarning birlashuvidir.
2
ÿ
K = Kn.
…
19
Masalan
ÿ ÿ
A = e
maydoni
hujayralar N(e) ( A maydoni)/e2 sifatida o'sadi . Bu kasrning
maxraji o'lchamni ko'rsatadi - u 2 ga teng, hisoblagich esa
maydonning o'lchamini, shartli ravishda, 2-o'lchovni bildiradi.
Umumiy
holatda, A to'plami 0 ga ega deb aytamiz
o'lcham d = dimA, 0 d 2, agar e uchun
Kn to'plami pre-Cantor deb ataladi , Cantor to'plami Kning
o'zi Cantordan oldingilarning kesishishi sifatida aniqlanadi:
K0 to‘plami [0, 1] segmenti bo‘lsin. Biz uni uchta teng qismga
ajratamiz va o'rta oraliqdan (1/3, 2/3) voz kechib, ikkita
segmentdan iborat K1 to'plamini olamiz [0, 1/3] va [2/3, 1] (1-
rasm). 1) . Biz ushbu ikki segmentning har biriga bir xil amalni
qo'llaymiz: biz o'rtacha intervallarni (1/9, 2/9) va (7/9, 8/9)
tashlaymiz. K2 to'plami qoladi , har biri uzunligi (1/3)2 bo'lgan
to'rtta segment . Ushbu jarayonni davom ettirib,
biz yopiq to'plamlarning kamayib borayotgan ketma-ketligini
olamiz
Keling, [0, 1] segmentidan olib tashlangan nuqtalar uchlik
sistemada qanday ko'rinishini ko'rib chiqaylik. Birinchi bosqichda
biz intervalni tashladik (1/3, 2/3). Bu oraliqdan x nuqtaning
uchlamchi kengayishi birinchi o'rindagi 1 raqamini o'z ichiga
oladi, x = 0,1... va [1, 1/3], [2/3, 1] segmentlaridagi nuqtalarni 0,0
sifatida yozish mumkin. … va 0,2… Xuddi shunday, ikkinchi
bosqichda biz ikkita intervalni (1/9, 2/9)
va (7/9, 8/9) tashladik. Ushbu intervallardan raqamlarning
uchlik kengayishi, albatta, ikkinchi pozitsiyada 1 raqamini o'z
ichiga oladi va qolgan raqamlar uchun bu pozitsiyada 0 yoki 2
raqamlari bilan kengaytirish mumkin. Bu jarayonni cheksiz davom
ettirib, x soni faqat 0 va 2 raqamlari yordamida uchlik kasr sifatida
ifodalanishi mumkin bo‘lgan taqdirdagina Cantor to‘plamiga
tegishli degan xulosaga kelamiz. Ma’lum bo‘lishicha, Kantor
to‘plami bilan to‘g‘ri keladi . cheksiz sonlar to'plami T nuqta va
tire 0 va 2 bo'lgan Leggramlar.
13
----
Dekart koordinata tizimiga ega Evklid tekisligini ko'rib
chiqaylik. Koordinata o'qlariga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlardan
foydalanib, butun tekislikni tomoni e > 0 bo'lgan kichik
kvadratlarga (hujayralarga) ajratamiz. Tekislikda cheklangan A
to'plam berilgan bo'lsin. Biz N(e) ni to'plami A ni qamrab
oluvchi hujayralarning minimal soni sifatida aniqlaymiz. Agar A
oddiy figura bo'lsa, deylik aylana, keyin
3
tashlab yuborilgan intervallarning uchlaridir. Bunday uchlarning
cheksiz, ammo hisoblab bo'ladigan to'plami bo'lishini ko'rish
oson. Biroq, K to'plami bu nuqtalar bilan tugamaydi, chunki uni
sanab bo'lmaydi. Hisoblab bo'lmasligini isbotlash uchun barcha
raqamlar faqat uchta raqam yordamida yoziladigan uchlik sanoq
tizimiga murojaat qilish qulay: 0, 1 va 2. Bu tizimda "etti" soni 21
sifatida yoziladi (chunki 7 = 2 ÿ 31 + 1 ÿ 30 ) va 1/4 kasr -
0,020202 ga teng ... O'nli kasrlarda bo'lgani kabi, ba'zi raqamlar
( a / 3k ko'rinishidagi raqamlar, butun son) qo'sh yozuvga ruxsat
beradi,
.
3
0 xodimlar soni
Machine Translated by Google

---