Fraktallar üadeéÇ Z.Ç. Kelishdikmi aloqa VV jikov ú ú ú¸fl ô ô ô ‡ ‡ ì ˜ ˜ î î ùÿ ùÿ í

dlim _
log
2n dim K = lim
log
----------
d = dim A = lim -----------------, 1
e ÿ
0 ln e
Cantor to'plami ham o'ziga o'xshashlik xususiyatiga ega. Darhaqiqat,
birinchi tashlangan intervalning yon tomonlarida o'xshashlik koeffitsienti
1/3 bo'lgan butun Cantor to'plamiga o'xshash uning ikkita qismi mavjud.
Ushbu qismlarning har biri alohida o'xshash xususiyatga ega.
kasr o'lchami.
Cln _
=
Formula (2) qulay, chunki u d-o'lchov qiymatini o'z ichiga olmaydi .
1
log e
1
Biz muntazam uchburchakni medial chiziqlar bilan to'rtta teng
uchburchak va ichki qismga ajratamiz
.
r
log 3n
----
--
-----------------
log N( ) e
tomoni 1/2 bo'lgan uchta uchburchakdan iborat S1 to'plami . Keyingi
bosqichda biz ushbu uchta uchburchakning har biri uchun bir xil amalni
bajaramiz va hokazo. Natijada pasayish kuzatiladi
K to'plami tashlangan intervallarning uchlari bilan tugamaydi.
Ikkinchidan, peçete o'z-o'zidan o'xshash - u uchta bo'lakdan iborat
bo'lib, ularning har biri o'xshashlik koeffitsienti 1/2 bo'lgan butunga
o'xshaydi. Keling, bu qismlar birlashtirilgan nuqtalarni - dastlabki
uchburchak tomonlarining o'rta nuqtalarini "tashlaymiz".
1lnr _
ln 2
\u003d 0,630929 ...
chunki
1
log e
N(e) hujayralar soni C/ed ga oshadi , bu erda C qandaydir musbat
doimiy A to'plamning d-o'lchovi deb ataladi . Bu shuni anglatadiki,
=
,
Misol tariqasida, Kantor to'plamining o'lchamini topamiz K. Biz
shuni ta'kidlaymizki, Kantordan oldingi Kn to'plam K to'plamini e = 3 -
n uzunlikdagi segmentlar bilan qoplash vazifasini bajaradi va bunday
segmentlar soni N ga teng . (e) = 2n Shuning uchun,
E'tibor bering, d o'lchamini formuladan topish mumkin
lim
(2-rasm) cheksizgacha. Ko'p sonli ejeksiyonlardan so'ng, S to'plami
qoladi , Sierpinski salfetkasi deb ataladi.
--
ln 3
--
=
--
1 dln -- + lnC e
--------
log
2n d = lim
Klassik Cantor uchun r = 1/3 to'plami. Olingan tenglikdan ko'rinib
turibdiki, intervalda oldindan belgilangan o'lchamli d ÿ (0, 1) bo'lgan
fraktallar mavjud. Keling, boshqa klassik fraktallarning o'lchamini
hisoblaylik.
uzunligi r bo'lgan 2n segmentdan iborat
= d.
Olingan salfetkada nima g'ayrioddiy? Birinchidan, u cheksiz
panjarani o'z ichiga oladi - qurilishda ishtirok etadigan barcha
uchburchaklarning tomonlari tomonidan tashkil etilgan ramka. Biroq,
bu ko'rinadigan ramkaga qo'shimcha ravishda, S peçetesi Cantor bilan
bir xil tarzda hisoblab bo'lmaydigan boshqa nuqtalarni o'z ichiga oladi.
lim
C = e e ÿ 0
Raqam chizig'idagi to'plamlar uchun tomonlar e bo'lgan kvadrat
katakchalar bilan qoplash o'rniga, biz uzunlikdagi segmentlar bo'yicha
qoplamalar haqida gapiramiz. O'lcham (2) formula bilan aniqlanadi,
unda N (e) bunday segmentlarning minimal soni.
Biz birinchi fraktalni oldik - bilan to'plam
----------
Salfetkaning bu va boshqa xususiyatlarini yaxshiroq tushunish
uchun uni qurish jarayonini batafsil ko'rib chiqaylik. S0 tomoni 1 bo'lgan
dastlabki muntazam uchburchak bo'lsin . Median chiziqlar uni to'rtta
teng uchburchakka bo'ladi; markaziy uchburchakning ichki qismini
tashlab, biz to'plamni olamiz.
=
d e
---
----------
ln 2
N( ) e .
Endi umumlashtirilgan Cantor to'plamining o'lchamini topamiz , u
quyidagicha aniqlanadi. r soni berilgan , 0 < r < 1/2. K0 = [0, 1]
oralig'idan biz 1/2 nuqtada markazlashtirilgan 1 - 2r uzunlikdagi intervalni
olib tashlaymiz . Uzunligi r bo'lgan ikkita segmentdan iborat yopiq K1
to'plamini olamiz . Biz ularning har biriga bir xil tartibni qo'llaymiz: biz r
(1 - 2r) uzunlikdagi o'rta oraliqni olib tashlaymiz. n- bosqichda biz har
biri uchun Kn to'plamini olamiz . Umumlashtirilgan Cantor to'plamining
o'zi barcha Kn ning kesishishi sifatida aniqlanadi . Keyin (2) formula
bo'yicha
--
--------.
1
log e
biz markaziylikni yo'qotamiz. Qolgan uchta uchburchak bilan biz xuddi
shunday qilamiz va hokazo
ka. Keyin salfetka uchta kichikroq ro'molchaga bo'linadi. Biz ular bilan
ham xuddi shunday qilamiz. Agar bu jarayon cheksiz davom etsa, faqat
sanab o'tilgan nuqtalarni teshib qo'ysa, salfetka bilan nima sodir
bo'ladi? Salfetka butunlay parchalanadi!
(2)
---------------------------------
ln N( ) e
lim