Fraktallar üadeéÇ Z.Ç. Kelishdikmi aloqa VV jikov ú ú ú¸fl ô ô ô ‡ ‡ ì ˜ ˜ î î ùÿ ùÿ í

2-teorema (qarang [4]). Agar Moran sharti bajarilsa,
attraktorning o'xshashlik o'lchami uning Hausdorff o'lchamiga
to'g'ri keladi, ya'ni s(F) = dimF. Klassik fraktallar uchun Moranning
holati osongina tekshiriladi. Shunday qilib, Sierpinski peçetesi
uchun V to'plami asl muntazam uchburchakning ichki qismidir,
gilam uchun esa asl kvadratning ichki qismidir.
Machine Translated by Google

---

ÿ
lim
qaerda j
f(x) = r(x - ai ) + ai ,
i = 1, 2, 3, 4,
1
mln
Keling, to'rtburchaklarimizning vertikalga o'rtacha (yoki ular
aytganidek, samarali) o'tkazuvchanligini tavsiflovchi Jn maxsus
qiymatini kiritaylik.
(x) j(x) oqim zichligi vektorining uzunligi kvadrati bo'lib ,
integrallash bizning to'rtburchakning o'tkazuvchi qismi ustida
amalga oshiriladi. Ko'rinib turibdiki , n ning ortishi bilan oqimning
o'tishi qiyinlashadi, chunki o'tishlar to'plami Kn kamayadi. Jn ning
qiymati n ortishi bilan kamayadi va savol cheklovchi qiymatmi
yoki yo'qmi
r
----------
ichida
r
( ) x dx,
va parametrga qarab r (0, 2) oraliqdan istalgan qiymatni qabul
qilishi mumkin. O'xshashlik o'lchovi uchun (7) tenglama 4rs = 1
ko'rinishini oladi. Biz s = d tenglikni olamiz , bu ajablanarli emas,
chunki Moran sharti bajariladi.
--------
J = Jn
--
Ko'pincha attraktor fraktal emas, balki fraktal chegarasi
bo'lgan ikki o'lchovli to'plamdir. So'nggi yillarda bunday ob'ektlarga
(fraktillarga) katta e'tibor berildi. Ular maqolada ko'rib chiqilmaydi.
1 va 2-teoremalarning oddiy tasviri sifatida kvadratdagi Cantor
chang deb ataladigan fraktalni ko'rib chiqing.
noldan farq qiladi. Shubhasiz, n ÿ uchun biz Cantor dielektrik
qismini olamiz, bu bizning o'tkazgichimizni Cantor to'plamida bir-
biriga tegib turgan ikki qismga ajratadi.
Xulosa qilib aytganda, fraktallar ishtirok etadigan ikkita
muammoni ko'rib chiqamiz.
ln 4n ln4 d =
dim F = lim = 1
Kengligi 1 bo'lgan to'rtburchakni ko'rib chiqaylik. Birinchidan,
u butunlay o'tkazuvchan materialdan iboratligini tasavvur qiling,
so'ngra uni dielektrik bo'linma bilan ikki qismga ajratamiz. Bo'lim
shu tarzda qurilgan. O'rta gorizontal qismda (7-rasm) biz oldingi
Cantor to'plamini olamiz Kn . Unga to'ldiruvchi to'plam umumiy
uzunligi 1 - (2/3) n bo'lgan 2n - 1 oraliqdan iborat . Ushbu
intervallarning har birida, diagonalda bo'lgani kabi, biz
kvadrat quramiz. Biz barcha kvadratlarni o'tkazmaydigan material
(dielektrik) bilan to'ldiramiz, bu Cantordan oldingi bo'linishni
beradi.
(8)
ln
bu yerda a1 , a2 , a3 , a4 birlik kvadratining uchlari F0 , 0 < r <
1/2. Nolga
yaqinlik F0 (5) shartni qanoatlantiradi. Birinchi taxminiy F1
tomonlari r bo'lgan to'rtta kvadratdan iborat va "xoch" ni olib
tashlash orqali asl kvadratdan olinadi (6-rasm). Keyinchalik,
jarayon to'rtta kvadrat bilan takrorlanadi. Fn to'plami r ga ega
bo'lgan 4n ta kesilgan yopiq kvadratlarning birlashmasi ; shuning
uchun "chang" ning Hausdorff o'lchami F = ÿFn .
Jn = j
nom yo'nalishi. Buning uchun potentsial yuqori bazaga birlikka,
pastki qismiga esa nolga teng bo'lgan elektr maydonini o'rnatamiz
va o'rnatamiz.
---
Ma'lumki, yopiq to'plamni ikkita kesishmaydigan yopiq qismga
bo'lish mumkin bo'lmasa, bog'langan (fiziklar aytganidek integral)
deyiladi. Cantor chang, albatta, ulangan to'plam emas. Bundan
tashqari, bu to'plam butunlay uzilgan. Ikkinchisi, o'zboshimchalik
bilan kichik diametrli kesishmaydigan qismlarga bo'linishi
mumkinligini anglatadi. Intervalga o'rnatilgan Cantor ham butunlay
uzilgan. Boshqa barcha klassik fraktallar bog'langan.