Gilbert-shmidt teoremasi. Spekt va rezolventa 1 Teskari operatorlar

3.1-ta’rif. Agar son uchun ga teskari operator mavjud bo‘lib, u ning hamma yerida aniqlangan bo‘lsa, soni operatorning regulyar nuqtasi deyiladi,



operator esa operatorning nuqtadagi rezolventasi deyiladi. Barcha regulyar nuqtalar to‘plami orqali belgilanadi.

3.2-ta’rif. operatorning regulyar bo‘lmagan barcha nuqtalari to‘plami operatorning spektri deyiladi va u orqali belgilanadi.

3.3-ta’rif. Agar biror son uchun tenglama nolmas yechimga ega bo‘lsa, son operatorning xos qiymati deyiladi, nolmas yechim esa xos vektor deyiladi.

Ko‘rinib turibdiki, barcha xos qiymatlar to‘plami spektrda yotadi, chunki xos qiymat bo‘lsa, operatorning teskarisi mavjud emas.

Spektr quyidagi qismlarga ajratiladi.

3.4-ta’rif. a) Barcha xos qiymatlar to‘plami operatorning nuqtali spektri deyiladi va bilan belgilanadi.

b) Agar xos qiymat bo‘lmasa va ya’ni operatorning qiymatlar sohasi ning hamma yerida zich emas. Bunday lar to‘plami operatorning qoldiq spektri deyiladi va bilan belgilanadi.

Endi o‘z-o‘ziga qo‘shma operatorlar uchun muhim spektr ta’rifini keltiramiz.

3.5-ta’rif. Agar biror son uchun nolga kuchsiz yaqinlashuvchi birlik vektorlar ketma-ketligi mavjud bo‘lib



bo‘lsa, u holda son operatorning muhim spektriga qarashli deyiladi. operatorning muhim spektri bilan belgilanadi.

Operatorning nuqtali va qoldiq spektrlari o‘zaro kesishmaydi. Nuqtali va muhim spektrlar o‘zaro kesishishi mumkin.

3.2-teorema. Agar va bo‘lsa, u holda regulyar nuqta bo‘ladi.

Isbot. operatorni quyidagicha yozib olamiz:

(3.1)

Teorema shartidan operatorning normasi dan kichik ekanligi kelib chiqadi, shuning uchun, operatorning chegaralangan teskarisi mavjud. Bundan va (3.1) tenglikdan operatorning teskarisi mavjud va chegaralangan ekanligi kelib chiqadi.

Shunday qilib, chegaralangan operatorning spektri markazi koordinatalar boshida va radiusi ga teng yopiq doirada saqlanar ekan.

3.3-teorema. Agar bo‘lsa, u holda yopiq to‘plamdir.