Gilbert-shmidt teoremasi. Spekt va rezolventa 1 Teskari operatorlar

14.9. Parametr ning qiymatlarida

operatorga 1.5-teoremani qo‘llab, unga teskari operatorni toping.

Yechish. 1.8-misolda qiymatlar uchun operatorga teskari operator mavjudligi ko‘rsatilgan edi. Bu misolga 1.5-teoremani qo‘llashimiz uchun operatorning darajalarini hisoblashimiz kerak. Dastlab operator kvadratini hisoblaymiz:

. (14.14)

(1.14) tenglikda bo‘yicha integralni hisoblash mumkin. Agar biz

tenglikni hisobga olsak, ga ega bo‘lamiz. Bu tenglikdan barcha larda ekanligi kelib chiqadi. Natijada biz, ga ega bo‘lamiz. Haqiqatan ham,

va

tengliklar o‘rinli. Isbot jarayonidan ma’lum bo‘ldiki, barcha larda operatorga teskari operator mavjud va chegaralangan bo‘ladi.

1.10. Parametr ning qanday qiymatlarida

(1.15)

operatorga 1.6-teoremani qo‘llash mumkin?

Yechish. operatorni ko‘rinishda yozib olamiz. operator sifatida (1.7-misolga qarang)

,

ni, operator sifatida esa

ni olamiz. 1.7-misolda operatorning teskarisi mavjud va ekanligi ko‘rsatilgan edi. 1.6-teoremani (1.15) tenglik bilan aniqlangan operatorga qo‘llashimiz uchun

(1.16)

tengsizlik o‘rinli bo‘ladigan ning barcha qiymatlarini topishimiz kerak. Shu maqsadda operatorning normasini topamiz. Buning uchun norma kvadratini baholaymiz:

. (14.17)

Biz bu yerda Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan hamda

tenglikdan foydalandik. (1.17) dan

(1.18)

tengsizlik kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan desak, u holda

va

bo‘ladi. Ma’lumki,

. (1.19)

(1.18) va (1.19) lardan tenglikka ega bo‘lamiz. Bu yerdan barcha lar uchun (14.16) ning, ya’ni tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi. 1.6-teoremaga ko‘ra, barcha larda operatorga teskari operator mavjud va chegaralangan. 1.8-misoldagidek, ekanligidan operatorga chegaralangan teskari operator mavjud emas degan xulosa kelib chiqmaydi. ∆