1.7. Endi Hilbert fazosini o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi
operatorni qaraymiz. operator 14.4-teorema shartlarini qanoatlantiradimi? ga chegaralangan teskari operator mavjudmi?
Yechish. operatorning chiziqli ekanligi oson tekshiriladi. Endi operator uchun 1.4-teoremaning (1.9) sharti bajarilishini ko‘rsatamiz. Buning uchun normani quyidan baholaymiz.
.
Biz bu yerda tengsizlikdan hamda integralning monotonlik xossalaridan foydalandik. So‘nggi tengsizlikdan tengsizlik kelib chiqadi. Bu yerda son sifatida dagi ixtiyoriy sonni olish mumkin. 14.4-teorema tasdig‘idan foydalansak, ga chegaralangan teskari operator mavjudligi hamda tengsizlik kelib chiqadi. Aslida tenglik o‘rinli. ∆
1.5-teorema. - Banax fazosi va . Agar bo‘lsa, u holda operator uchun chegaralangan teskari operator mavjud.
Isbot. fazoda quyidagi formal qatorni qaraymiz:
. (1.10)
Ma’lumki, . Xuddi shuningdek, . U holda (14.10) qatorning
qismiy yig‘indilari ketma-ketligi Koshi shartini qanoatlantiradi, ya’ni
.
(1.10) qatorning qismiy yig‘indilari ketma-ketligi - fundamental ekan, to‘la bo‘lgani uchun
.
Shunday qilib,
.
Bundan tashqari
Xuddi shunday ko‘rsatish mumkinki, . Demak, operator operator uchun teskari operator ekan. operatorning normasi
.
Demak, operator chegaralangan va uning normasi
tengsizlikni qanoatlantiradi. ∆
Do'stlaringiz bilan baham: |