Isbot. Zaruriyligi. mavjud va chegaralangan bo‘lsin, ya’ni
.
U holda
.
Demak, (1.9) shart o‘rinli.
Yetarliligi. (1.9) shartdan operatorning o‘zaro bir qiymatli ekanligi kelib chiqadi. Teskarisini faraz qilaylik, (1.9) shart bajarilsinu o‘zaro bir qiymatli akslantirish bo‘lmasin. U holda shunday elementlar mavjudki,
.
Bundan ekanligi kelib chiqadi. (1.9) tengsizlikka ko‘ra,
.
Bu yerdan qarama-qarshilikka kelamiz. Demak, - o‘zaro bir qiymatli akslantirish ekan. Shuning uchun, teskari operator mavjud. Endi operatorning chegaralangan ekanligini ko‘rsatamiz. (1.9) tengsizlikka ko‘ra,
.
Ixtiyoriy uchun
.
Bu yerdan operatorning chegaralangan ekanligi hamda
tengsizlik kelib chiqadi.
Endi 1.3 va 1.4-teorema shartlarining bajarilishiga doir misollar qaraymiz.
Do'stlaringiz bilan baham: |