Gilbert-shmidt teoremasi. Spekt va rezolventa 1 Teskari operatorlar

1.8-misol. Parametr ning qanday qiymatlarida

operatorga 14.5-teoremani va uning 14.1-natijasini qo‘llash mumkin?

Yechish. ekanligini tekshiramiz. Shu maqsadda ixtiyoriy elementlarni va ixtiyoriy sonlarni olamiz va operatorning elementga ta’sirini qaraymiz:

Biz bu yerda integralning additivlik va bir jinslilik xossalaridan foydalandik. Endi operatorning chegaralangan ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun norma kvadratini baholaymiz:

. (1.11)

Endi Koshi-Bunyakovskiy - tengsizligidan hamda

ayniyatlardan va ning 1 ga ortogonalligidan foydalansak, (14.11) dan

(1.12)

tengsizlik kelib chiqadi. (14.12) dan

(1.13)

tengsizlikka ega bo‘lamiz. Ikkinchi tomondan desak, u holda

va

bo‘ladi. Ma’lumki,

va (1.13) dan foydalansak, tenglikka ega bo‘lamiz. Bu yerdan barcha lar uchun tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi. Demak, 14.5-teorema va uning natijasiga ko‘ra, barcha larda operatorga teskari operator mavjud va chegaralangan. 14.5-teorema shartlarining bajarilishi operatorga teskari operator mavjud va chegaralangan bo‘lishini ta’minlaydi. Lekin ekanligidan operatorga chegaralangan teskari operator mavjud emas degan xulosa kelib chiqmaydi. ∆

Navbatdagi misolimiz bu fikrimizni tasdiqlaydi.