Gilbert-shmidt teoremasi. Spekt va rezolventa 1 Teskari operatorlar

3.3. Endi Hilbert fazosida ko‘paytirish operatorini, ya’ni

(3.5)

operatorni qaraymiz . Uning xos qiymatlarini va spektrini toping.

Yechish. bo‘lgan holda, ning chegaralangan ekanligi. Bundan tashqari tenglik isbotlangan edi. tenglama bo‘lganda nolmas yechimga ega. Demak, sonlar operatorning xos qiymatlari bo‘lar ekan. Agar birorta ham da bo‘lsa, u holda operator teskarilanuvchan bo‘ladi va

(3.6)

Bulardan tenglik kelib chiqadi. Ma’lumki, xos qiymatlar operatorning spektriga qarashli bo‘ladi, shuning uchun Ikkinchi tomondan chegaralangan operatorning spektri yopiq to‘plamdir, demak to‘plamning yopig‘i uchun

(3.7)

munosabat o‘rinli. Agar bo‘lsa, u holda (16.6) tenglik bilan aniqlangan operator fazoning hamma yerida aniqlangan va chegaralangan bo‘ladi. Bundan ekanligi kelib chiqadi.

Bu yerdan

(3.8)

(3.7) va (3.8) munosabatlardan



ga kelamiz. Ko‘rsatamizki, ketma-ketlikning barcha limitik nuqtalari operatorning muhim spektriga qarashli bo‘ladi. Buning uchun limitik nuqta ga yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlikni qaraymiz. U holda



ketma-ketlik ortonormal sistema bo‘lganligi uchun nolga kuchsiz ma’noda yaqinlashadi. Demak, son operatorning muhim spektriga qarashli ekan.