Gilbert-shmidt teoremasi. Spekt va rezolventa 1 Teskari operatorlar

1.11. Quyidagi operatorning teskarilanuvchan emasligini ko‘rsating

. (1.20)

Yechish. Ma’lumki, chiziqli operator teskarilanuvchan bo‘lishi uchun tenglama faqat yechimga ega bo‘lishi zarur va yetarli. (1.20) formula bilan berilgan operator uchun funksiyani olsak, bo‘lgani uchun

.

Demak, tenglama nolmas yechimga ega, 14.3-teoremaga ko‘ra, operator teskarilanuvchan emas. ∆

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1. 
   Teskarilanuvchan operator ta’rifini keltiring.
   
2. 
   Chiziqli operatorga teskari operator har doim chiziqli bo‘ladimi?
   
3. 
   Chiziqli chegaralangan operatorga teskari operator mavjud bo‘lsa, u chiziqli chegaralangan bo‘ladimi? Misollarda tushuntiring. 1.5, 1.6-misollarga qarang.
   
4. 
   - chiziqli operatorning yadrosi nolmas elementni saqlasa, u holda ga teskari operator mavjud bo‘lishi mumkinmi?
   
5. 
   1.10-misoldagi operatorga teskari operatorni toping.
   
6. 
   1.5-misolda keltirilgan operatorga teskari operatorni toping. operatorning aniqlanish sohasini toping. tenglik to‘g‘rimi? Agar bu tenglik to‘g‘ri bo‘lmasa, to‘plam fazoning hamma yerida zichmi?
   
7. 
   Ko‘paytirish operatori ning teskarilanuvchan bo‘lishining zarur va yetarli shartini toping.
   
8. 
   Ko‘paytirish operatori ga chegaralangan teskari operator mavjud bo‘lishining zarur va yetarli shartini toping.
   
9. 
   Ko‘paytirish operatori ga teskari operatorni toping. U chegaralangan operator bo‘ladimi?
   
10. 
    Ko‘paytirish operatori ga teskari operator mavjudmi? Bu operatorning yadrosini toping. tenglik to‘g‘rimi? Bu yerda deb sonining butun qismi belgilangan.
    

2. Qo‘shma operatorlar

chiziqli normalangan fazoni chiziqli normalangan fazoga

akslantiruvchi chiziqli uzluksiz operator berilgan bo‘lsin, ya’ni



Bizga ixtiyoriy chiziqli chegaralangan funksional berilgan bo‘lsin. Bu funksionalning elementga ta’sirini qaraymiz Osongina ko‘rsatish mumkinki, funksional da aniqlangan biror chiziqli funksionalni aniqlaydi. Shunday qilib,

(2.1)

Endi (2.1) tenglik bilan aniqlangan funksionalning chiziqli ekanligini ko‘rsatamiz:

(2.2)

(2.2) tenglik barcha va ixtiyoriy lar uchun o‘rinli. Demak, chiziqli funksional ekan. Endi uning chegaralangan ekanligini (uzluksizligini) ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy uchun

tengsizlik o‘rinli. Bu yerdan funksionalning chegaralanganligi kelib chiqadi.

Agar funksionalning nuqtadagi qiymatini deb belgilasak, u holda

(2.3)