Gulmirza Xudoyberganov, Azizjon Kenjabaevich Vorisov, Hojakbar Turobovich Mansurov, Bohodir Allaberdievich shoimqulov

2-ta`rif. va to`plamlari berilgan bo`lib,
bo`lsa, va bir biriga teng to`plamlar deyiladi va

kabi yoziladi.

Demak, tenglik va to`plamlarning bir xil elementlardan tashkil topganligini bildiradi.
2<sup>0</sup>. To`plamlar ustida amallar. Ikki va to`plamlar berilgan bo`lsin.

3-ta`rif. va to`plamlarning barcha elementlaridan tashkil topgan to`plam va to`plamlar yig`indisi (birlashmasi) deyiladi va kabi belgilanadi:

.
Demak, bu holda dan , yoki , yoki bir vaqtda , bo`lishi kelib chiqadi.

4-ta`rif. va to`plamlarning barcha umumiy elementlaridan tashkil topgan to`plam va to`plamlar ko`paytmasi (kesishmasi) deyiladi va kabi belgilanadi:

.
Demak, bu holda dan bir vaqtda , bo`lishi kelib chiqadi.

5-ta`rif. to`plamning to`plamga tegishli bo`lmagan barcha elementlaridan tashkil topgan G to`plam to`plamdan to`plamning ayirmasi deyiladi va kabi belgilanadi:

.
Demak, dan , bo`lishi kelib chiqadi.

6-ta`rif. to`plamning ga tegishli bo`lmagan barcha elementlaridan va B to`plamning ga tegishli bo`lmagan barcha elementlaridan tuzilgan to`plam va to`plamlar-ning simmetrik ayirmasi deyiladi va kabi belgila-nadi:

.
Demak, bo`lishidan , yoki , bo`lishi kelib chiqadi.

7-ta`rif. Aytaylik, , bo`lsin. Barcha tartiblangan ko`rinishidagi juftliklardan tuzilgan to`plam va to`plamlarning dekart ko`paytmasi deyiladi va kabi belgilanadi. Demak,

.
Xususan, bo`lganda deb qaraladi.

8-ta`rif. Aytaylik, va to`plamlar berilgan bo`lib, bo`lsin. Ushbu
to`plam to`plamni ga to`ldiruvchi to`plam deyiladi va yoki kabi belgilanadi:


.
To`plamlar ustida bajariladigan amallarning ba`zi xossalarini keltiramiz.
, va to`plamlari berilgan bo`lsin.
1) bo`lsa, bo`ladi;
2) bo`ladi;
3) bo`lsa, bo`ladi;
4) bo`ladi;
5) bo`ladi;
6) bo`lsa, ;
7) , bunda ;
8) , bunda .
Bu xossalarning isboti yuqorida keltirilgan ta`rif-lardan kelib chiqadi.


1-misol. Ushbu

(1)
tenglik isbotlansin.

◄ bo`lsin. U holda
yoki

bo`ladi. Bundan esa

bo`lib,

bo`lishi kelib chiqadi. Demak,

. (2)
Aytaylik, bo`lsin.

U holda

,
bo`ladi.

Bundan esa
bo`lib,

bo`lishi kelib chiqadi. Demak,

. (3)
(2) va (3) munosabatlardan (1) tenglikning o`rinli bo`lishi topiladi. ►

To`plamlar ustida bajariladigan amallarni bayon etishda to`plamlarning qanday tabiatli elementlardan tuzil-ganligiga e`tibor qilinmadi.
Aslida, keltirilgan amallar biror universal to`plam deb ataluvchi to`plamning qismiy to`plamlari ustida bajari-ladi deb qaraladi. Masalan, natural sonlar to`plamlari ustida amallar bajariladigan bo`lsa, universal to`plam sifatida barcha natural sonlardan iborat to`plamni olish mumkin.