Гязянфяр рцстямов автоматик

Тяриф 1. 

t

  заман  анында  сис-

темин  (обйектин)  вязиййятини 

характеризя  едян   

)

t

(

A

  нюгтяси 

тясвиредиъи нюгтя адланыр. 

Тясвиредиъи 

)

t

(

A

  нюгтясинин 

координаты 

т

2

1

)]

t

(

),

t

(

[(

)

t

(

x

x



x

 

вязиййят  вектору  олдуьундан 

мящз бу нюгтя щяр бир 

t

 заман 

анында  системин  вязиййятини  ха-

рактеризя едир. 

1. Тясвиредиъи  нюгтянин  щяря-

кят  истигамятин  тяйини.  Хятти  системляр  цчцн  щярякятин  истига-

мятини  бир  нюгтядя  тяйин  етмяк  кифайятдир.  Истигамятин  тяйини 

(6.13)  тянлийиндян  истифадя  едяряк  верилмиш  нюгтядя 

1

1







x

, 

2

2







x

  сцрят  векторларынын  гурулуб  йекун 

υ



  векторунун  истига-

мятинин  тапылмасына  ясасланыр.  Сцрят  векторларынын  гиймятини  тап-

маг  цчцн  (6.13)  тянлийинин  саь  тяряфиня  верилмиш  нюгтянин 

А

2

А

1

, x

x

координатларыны йазмаг лазымдыр: 

 

A

1

А

2

А

1

1

)

,

(

f





x

x

,   

.

)

,

(

f

A

2

А

2

А

1

2





x

x

 

 

 

 

               

Шякил 6.7 

 

22 

 

Яэяр  ишаря  мянфи  алынарса,  онда  мцвафиг  вектору  координатын 

азалма истигамятиндя чякмяк лазымдыр.   

Фярз  едяк  ки,  хятти  консерватив 

u

y

y









  обйекти  цчцн  (6.13) 

тянлийи ашаьыдакы шякилдя верилмишдир:  

 

.

u

,

1

2

2

1









x

x

x

x





 

 

Идаря  тясиринин 

1

u



  гиймятиндя 

)

1

;

5

,

1

(

A

  тясвиредиъи  нюгтясинин 

щярякят  истигамятини  тяйин  етмяк  тяляб  олунур.  Фаза  сцрятлярини 

щесаблайырыг: 

5

,

0

,

1

A

2

A

1











. 

 

Шякил  6.8-дя  мцвафиг  гурмалар 

эюстярилмишдир. 

Щярякятин истигамяти 

A

 нюгтясиндя 

υ



  векторунун  истигамяти  иля  цст-

цстя  дцшдцйцндян  вя  систем  хятти 

олдуьундан  беля  нятиъяйя  эялмяк 

олар  ки,  башланьыъ  шяртдян  асылы 

олмайараг  бцтцн  трайекторийалар 

цзря  щярякят  саат  ягряби  истигамя-

тиндя баш верир. 

Тяриф 

2. Тясвиредиъи 

нюгтянин 

щярякят  трайекторийасы  фаза  трайек-

торийасы  адланыр. 

2. Фаза трайекторийаларынын гурулма гайдасы 

2.1. Аналитик цсул. Яэяр (6.13) диференсиал тянлийинин аналитик щялли 

мювъуддурса,  тапылмыш 

)

t

(

1

x

  вя 

)

t

(

2

x

  щялляри  фаза  трайекто-

рийасынын параметрик (параметр т-дир) формада верилмиш тянлийидир.  

Бязи  щалларда  илкин  диференсиал  тянлик  явязиня  (6.13)-дя  икинъи 

тянлийин биринъийя бюлцнмясиндян алынан 

 

)

,

(

f

)

,

(

f

d

d

2

1

2

2

1

1

1

2

x

x

x

x

x

x



 

(6.14) 

биртяртибли тянлийи щялл етмяк асан олур. Бу щалда билаваситя фаза трайекто-

рийаларынын  

)

,

,

(

20

10

1

2

x

x

x

x





 тянлийи алыныр. 

 

 

Шякил 6.8 

23 

 

Аналитик  цсулу  икигат  интеграллайыъы  манганын  мисалында  арашдыраг.  Бу 

щалда (6.13) тянлийи:  

 

u

,

2

2

1





x

x

x





. 

Ифадя (6.14):  

 

2

1

2

u

d

d

x

x

x



 . 

Садялик  цчцн 

const

u



  гябул  едяк.  Бу  тянлийи  дяйишянляри  айырараг 

интеграллайаг: 

 

1

2

2

1

10

2

20

ud

d

x

x

x

x

x

x

x







 , 

 

10

1

2

20

2

2

u

2

u

2

x

x

x

x







 , 

 

C

u

2

1

2

2





x

x

 . 

Бурада 

C

  башланьыъ  шяртлярдя  асылы  олан  сабитдир.  Нящайят  фаза 

трайекторийаларынын тянлийи  

 

1

2

2

u

2

C

x

x





  

параболасы шяклиндя алыныр. 

Шякил 6.9-да идаря тясиринин цч 

0

u



, 

1

u





, 

1

u





 гиймятляри цчцн 

фаза трайекторийалары эюстярилмишдир. 

 

 

Шякил 6.9 

24 

 

2.2.  Графоаналитик  цсул.  Фаза  трайекторийаларыны  гурмаг  мягсяди  иля 

яввялляр  изоклин,  делта-цсул,  Пелл  вя  с.  графики  цсуллардан  эениш  истифадя 

едирдиляр. Лакин компцтерлярин вя ядяди интеграллама цсулларынын мейдана 

эялмяси нятиъясиндя бу цсуллар юз дяйярини итирмяйя башлады.  

Щяр щалда орижиналлыьына эюря изоклин цсулу иля таныш олаг. (6.14) ифадясини 

ашаьыдакы шякилдя йазаг:  

 

)

,

(

k

)

,

(

f

)

,

(

f

d

d

2

1

2

1

2

2

1

1

1

2

x

x

x

x

x

x

x

x





. 

(6.15) 

Эюрцндцйц  кими, 

)

,

(

k

2

1

x

x

  кямиййяти 

)

,

(

2

1

x

x

  нюгтясиндя  фаза 

трайекторийасына чякилян тохунанын буъаг ямсалыдыр. Фаза трайек-

торийасынын истигамяти 

)

,

(

2

1

x

x

 нюгтясинин йахын ятрафында бу тоху-

нанын истигамятиня йахын олдуьундан кифайят гядяр сых тохунанлар 

сащяси гурараг фаза трайекторийаларыны гурмаг олар.   

Тохунанлар сащясини гурмаг мягсяди иля бу сащянин  

 

k

)

,

(

f

)

,

(

f

2

1

2

2

1

1



x

x

x

x

. 

(6.16) 

тянлийиндян истифадя етмяк олар. 

1

x  вя 

2

x  дяйишянляриня бизи мараг-

ландыран  областдан  мцхтялиф  гиймятляр  веряряк  щяр  дяфя  k -ны 

щесаблайыб 

)

,

(

2

1

x

x

  координатлы  нюгтядян 

k

arctg





  буъаьына 

малик  олан  тохунанын  кичик  парчасыны  чякмяк  олар.  Лакин  бу  йол 

расионал  олмайыб  тохунанлар  сащясинин  ганунауйьунлуьуну  изля-

мяйи чятинляшдирир.  

Бу сябябдян  k -йа 

]

k

,

k

[

k

max

min





 интервалындан сабит гиймятляр 

вермякля  щяр  дяфя  уйьун 

)

k

,

(

1

1

2

x

x





, 

const

k



  яйрисини 

гурурлар.  Бу  тянлик  (6.16)  гейри-ашкар  тянлийинин 

2

x   дяйишяниня 

нязярян щялл едилмяси нятиъясиндя алынмышдыр вя изоклинин тянлийи-

дир.  Демяли, изоклин фаза трайекторийаларына чякилян ейни маиллийя 

малик тохунанларын щяндяси йеридир. Бурада изо – сабит, дяйишмяз, 

клин ися тохунан демякдир. Изоклинин тянлийи хятти шякилдя олур. 

Щяр  бир  изоклин  яйриси  цзяриндя  мцяййян  интервал  иля 

const

k



 

сабит  гиймятиня  уйьун  эялян  вя  бу  сябябдян  бир-бириня  паралел 

25 

 

олан  тохунанларын  кичик  парчалары  чякилир  ки,  истигамят  билинсин. 

Сонра  щяр  щансы  бир  изоклинин  цзяриндян  башлайараг  уйьун 

тохунана паралел вя нювбяти изоклини кясяня гядяр дцз хятт чякир-

ляр вя с. Бу щалда фаза трайекторийасынын щисся-щисся хятти апрок-

симасийасы баш верир вя дягиглик изоклинлярин сыхлыьындан асылы олур. 

Яввялки  мисалда  бахылан  икигат  интеграллайыъы  обйект  цчцн  фаза 

трайекторийасынын гурулмасына бахаг. Бу щалда изоклинин тянлийи 

 

k

u

2



x

 ,  

0

k



    

шяклиндя  алыныр.  Фярз  едяк  ки, 

1

u





.  Буъаг  ямсалынын 

}

2

,

1

,

1

,

2

{

k











  гиймятляриндя  мцвафиг  изоклинляр  (гырыг-гырыг 

хятляр) вя тохунанлар сащяси шякил 6.10-да эюстярилмишдир.  

 

 

Шякил 6.10 

 

2.3. Ядяди  интеграллама  цсулларынын  тятбиги.  Щал-щазырда  ядяди 

интеграллама  цсулларынын  вя  компцтерлярин  инкишафы  аналитик  вя 

графоаналитик цсуллардан истифадя олунмасыны арха плана чякмишдир. 

Илкин  (6.13)  диференсиал  тянлийини  компцтердя  мцхтялиф  башланьыъ 

шяртляр  цчцн  йцксяк  дягигликля  (мясялян,  Рунге-Кут  цсулунун 

кюмяйи  иля)  щялл  едяряк 

)

nT

(

),

nT

(

2

1

x

x

  дяйишянляринин 

nT

t



, 



,

1

,

0

n



 анларында дискрет гиймятлярини тапмаг мцмкцндцр. Ко-

ординографдан  истифадя  олунса,  фаза  трайекторийаларын  гурулмасыны 

автоматлашдырмаг олар. 

Тяриф  3.  Системин  мцхтялиф  иш  режимлярини  якс  етдирян  фаза 

26 

 

трайекторийалары топлусу фаза портрети адланыр.  

Тяриф  4.  Фаза  сцрятляри  сыфыра  бярабяр  олан  нюгтя  таразлыг, 

стасионар вя йа хцсуси нюгтя адланыр.  

Хасся 1. Таразлыг нюгтяляри дайаныгсыз, дайаныглы вя йа нейтрал ола 

билярляр. 

Хасся 2. Тясвиредиъи  нюгтя  дайаныглы  таразлыг  нюгтясиня  сонсуз 

вахта, йяни 





t

 щалында чатыр. 

Хасся 3. Таразлыг  нюгтясиндя  диференсиал  тянлийин  щяллинин  варлыьы 

вя йеэанялийи шярти позулур. 

Тяриф 4-я ясасян  

 

.

0

)

,

(

f

dt

d

,

0

)

,

(

f

dt

d

2

1

2

2

2

1

1

1









x

x

x

x

x

x

 

(6.17) 

Бу  шярт  стасионарлыг  шярти  адланыб,  таразлыг  нюгтяляринин  координатларыны 

тяйин етмяк цчцн истифадя олунур. (6.17) цмуми щалда гейри-хятти ъябри 

тянликляр системини тяшкил едир.  

Фярз едяк ки, системин диференсиал тянлийи ашаьыдакы шякилдя верилмишдир:  

 

.

dt

d

,

2

)

1

(

dt

d

2

1

2

2

2

1

1

1

x

x

x

x

x

x

x













 

 

Бу щалда (6.17) ифадясиня ясасян стасионарлыг шярти:  

 

.

0

,

0

2

)

1

(

2

1

2

2

1

1













x

x

x

x

x

   

 

 

Алынмыш  ъябри  тянликляр  системини  щялл  едяряк  таразлыг  нюгтяляринин 

координатларыны тапырыг: 

     

1

,

1

;

1

,

1

;

0

,

0

23

13

22

12

21

11

















x

x

x

x

x

x

. 

 Эюрцндцйц кими, бу системин 

о

45 буъаг алтында симметрик йерляшян цч 

ядяд таразлыг нюгтяси мювъуддур. 

Нятиъя олараг, исбат етмяк олар ки, хятти стасионар системлярин координат 

27 

 

башланьыъында  олан  йеэаня  таразлыг  нюгтяси  мювъуддур.  Беля  ки,  хятти 

стасионар системин вектор формасында сярбяст щярякятинин йазылышы: 

 

Ax

x



dt

d

. 

Бурада 





т

n

2

1

)

,

,

,

(

x

x

x



x

вязиййят  вектору; 

n

n





A

  юлчцлц 

сабит матрисдир. 

Стасионарлыг  шярти 

0



Ax

  вя 

0



A

  олдуьундан,  бу  тянлийин 

йеэаня тривиал хялли 

0



x

 нюгтясидир ки, бу да фаза фязасынын коор-

динат башланьыъы иля цст-цстя дцшцр. 

Тяриф 5. Яэяр системин диференсиал тянлийинин 

 

)

t

(

)

kT

t

(

i

i

x

x





,  



,

2

,

1

,

0

k







 ,  

n

,

1

i



 

(6.18) 

дюврц щялли мювъуддурса, бу щялля уйьун эялян фаза трайекторийа-

сы  гапалы  трайекторийа  олуб  щядд  дюврц  адланыр.  (6.18)  ифадясиндя 





0

T

щядд дюврцнцн периодудур. 

 

6.5. Хятти вя гейри-хятти системлярин фаза портретляри  

 

Тянзимлямя  системляринин  (обйектляринин)  динамик  вя  статик 

хцсусиййятляринин тящлилини бир чох щалларда онларын фаза портретляри 

ясасында апарырлар. Бу сябябдян типик системлярин фаза портретлярини 

юйрянмяк ваъибдир. 

Фаза  портрети  юз  яйанилийини  йалныз  мцстявидя  сахладыьындан  биз 

икинъи тяртиб системляря бахаъаьыг. 

1. Хятти  системлярин  фаза  портретляри.  Фярз  едяк  ки,  эиришя  вя 

чыхыша нязярян бирюлчцлц хятти системин вя йа обйектин  чыхыша ня-

зярян биръинс тянлийи, йяни сярбяст щярякяти ашаьыдакы шякилдя ве-

рилмишдир:  

 

0

y

a

y

a

y

a

2

1

0













. 

(6.19) 

Бурада  саь  тяряфя  дахил  олан  идаря  вя  щяйяъанландырыъы  тясирляр 

сыфыра  бярабяр  эютцрцляряк  системин  сыфыр  олмайан 

0

y

)

0

(

y



, 

0

y

)

0

(

y







 башланьыъ шяртляринин тясири алтында сярбяст щярякятиня ба-

хылыр.  Ращатлыг  цчцн  (6.19)  тянлийини  мцхтялиф  формада  нормалаш-

дырырлар. Бу формалардан бири ашаьыдакы шякилдя йазылыр:  

28 

 

 

0

y

y

h

2

y

2

0















. 

(6.20) 

Бурада 

0

1

a

a

h

2



, 

0

2

2

0

a

a





. 

y

1



x

, 

y

2





x

  ишаря  едяряк  чыхыша  нязярян  йазылмыш  (6.20) 

тянлийини фаза (вязиййят) координатларында ифадя едяк:           

 

.

)

0

(

,

)

0

(

,

y

,

h

2

,

20

2

10

1

1

2

1

2

0

2

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x





















 

(6.21) 

Кечид   

)

t

(

1

x

  вя 

)

t

(

2

x

  просесляринин  вя  демяли,  фаза  трайекто-

рийаларынын шякли (6.21) характеристик тянлийинин кюкляринин типиндян 

асылыдыр. Характеристик тянлик: 

 

0

hs

2

s

)

s

det(

2

0

2













A

I

      

(6.22) 

Бурада 



I

ващид матрис, 

























h

2

1

0

2

0

A

 . 

Тянлик (6.22)-нин кюкляри:  

 

.

h

h

s

,

h

h

s

2

0

2

2

2

0

2

1





















      

(6.23) 

Кюкляр садя кюкляр (йяни тякрарланан олмадыгда) олдуьу щалда цмуми 

щялл: 

  

t

s

2

t

s

1

2

1

e

C

e

C

y





. 

Бурада 

0

0

2

1

y

,

y

C

,

C





  башланьыъ  шяртляриндян  асылы  олан  интеграллама 

сабитляридир. 

Кюкляр гошма-комплекс 









i

s

2

,

1

 олдугда 

2

1

2

,

1

ir

r

C





 ямсаллары 

29 

 

да гошма-комплекс ифадяляр олмалыдырлар. Бу щалда щялл 

.

)

t

sin

jB

t

cos

A

(

e

       

          

]

t

sin

)

C

C

(

j

t

cos

)

C

C

[(

e

)

e

C

e

C

(

e

y

t

2

1

2

1

t

t

j

2

t

j

1

t







































 

Бурада 









2

1

r

2

B

,

r

2

A

башланьыъ  шяртляриня  ясасян  тяйин  олунан 

йени  интеграллама  сабитляридир. 

0

t



  щалында 

0

0

y

)

0

(

y

,

y

)

0

(

y









 

верилярся, 

A

 вя 

B

 ашаьыдакы ъябри тянликляр системинин щяллиндян тапылыр: 

0

0

t

0

0

t

y

y

,

y

y













. Конкрет щалда  











/

)

y

y

(

B

,

y

A

0

0



. 

Щялли даща компакт шякилдя йазмаг олар: 

 

)

t

cos(

K

y









. 

Бурада 

2

2

B

A

K







,  

A

B

arctg







. 

Тянлик (6.21)-ин Коши дцстуруна ясасян щялли: 

0

At

e

)

t

(